Chapitre

champ À. Si plusieurs propositions sont vraies dans le champ 4, on voit tout de suite qu’on en déduit un champ infini où ces propositions sont vraies.

C’est ainsi qu’en convenant que la valeur de a; +1 est a,.;, on vérifie immédiatement que tous les axiomes de Ch. 4, 5 sont vrais dans le champ À (le champ d'ordre p du champ infini que l’on en déduit est composé de aça...a,). D'où la non contradiction de ces axiomes.

Mais nous pouvons cette fois-ci aller plus loin.

1°. Introductions des définitions par récurrence. D'une manière plus générale qu’au Ch. 4, 8.5, nous supposerons que l’on peut adjoindre à la théorie envisagée d’autres fonctions descriptives et d’autres hypothèses de la manière suivante: supposons que les modifications précédentes aient déjà conduit à une théorie T, dont les hypothèses soient vraies dans le champ A; introduisons une nouvelle fonction descriptive f(y, x1,...x,) d'arguments y, x1,4»,...x, avec des hypothèses de forme:

de(s, 0) (1) LA PAT tn A A Sn 2] (2) A ee RE ie et RO AU Pit re

avec la condition que les propositions

(4 x). P x (4) (y) (4 x). y x (5) soient vraies dans la théorie T (D et W peuvent contenir d’autres

Variables tx; 2,2)

Nous allons montrer la non-contradiction sous l’hypothèse très peu restrictive que les propositions (4) et (5) soient vraies dans le champ À (autrement dit, si on a pu les , interpréter” dans ce champ). Il suffira de remarquer que les propositions (1) et (2) sont vraies dans le champ À, si l’on prend pour les fonctions d'indice des variables de ces propositions, les mêmes que celles des variables correspondantes de (4) et (5); et si nous choisissons les valeurs de la fonction f(yx,x:...x) de la manière suivante: f(0 x, x:...x,) sera la fonction d'indice de x dans (4); si la fonction d'indice de x dans (5) est y x1...x,, on prendra comme valeur de f(y +1, x... x,) celle de [f(yx1x,); &1, ose x]; cela définit bien les valeurs de f(yx:...x,) dans le champ A.

bu à te) ne dE Lun à

— 125 — Chapitre 5. 6.8.

Quand à la proposition (3), elle est vérifiée d'elle-même dans le champ.

2°. Introduction de l'axiome d'induction totale.

Nous rappelons que (Ch. 4, 8.1), il faut ajouter aux Hypothèses les propositions de forme suivante:

PO:(x).Dzx DDPx+1: (y). y. (6)

Pour démontrer la non-contradiction de la théorie ainsi obtenue, il se présente des difficultés que nous ne chercherons pas à lever, notre but étant seulement de montrer la fécondité de la notion de ,champ infini”. Nous ne démontrerons cette non-contradiction que si l’on introduit des propositions de forme (6) parmi les hypothèses dans l’un ou l’autre des deux cas suivants (qui sont d'ailleurs, on s'en convaincra aisément, les principaux cas où on emploie l’axiome d’induction totale).

a) Cas où Da est vraie dans le champ À, pour tout chiffre a. Alors il est bien évident que (x).® x est vraie dans le champ À, et peut être ajoutée sans contradiction aux hypothèses.

b) Cas où ® x ne contient pas de variables apparentes.

Supposons donc qu'on ajoute aux hypothèses toutes les propositions obtenues en remplaçant (6) ® x par ®; x, D, x,..., et ®,x. Introduisons n nouvelles fonctions d'indice correspondant à x dans (1) pour chacun de ces cas, soient f, (192... Yn) (Yi Ye Va, étant les variables réelles de ©, x). Cherchons à fabriquer un champ infini où toutes les hypothèses de la théorie considérée soient vraies. Remarquons tout de suite qu’outre les anciennes hypothèses (celles du Ch. 4, et celles provenant des définitions par récurrence) il faudra rendre

vraies les propositions:

DO fod +1. y (7)

provenant de la matrice de (1), en remplaçant x par sa fonction d'indice. En mettant en évidence toutes les variables réelles, D,x s'écrira D;xziz:...2,.

Appelons E les individus de hauteur au plus égale à p, fabriqués à partir de la constante 0, des anciennes fonctions descriptives et des nouvelles fonctions d'indice.