Chapitre

5.1. Etant donnée une proposition, nous allons donner un procédé permettant de trouver deux propositions qui lui soient équivalentes, et dont l'une soit une somme de produits de propositions simples (forme normale disjonctive), et l'autre un produit de sommes de propositions simples (forme normale conjonctive).

Quand on appliquera ce procédé, on dira que l’on met la proposition sous forme normale (conjonctive ou disjonctive).

1. Une proposition élément est évidemment de l’une et de l’autre forme.

2. Si p peut être mis sous l’une de ces formes, ©p peut être mis sous l’autre. Ceci résulte des trois faits suivants qui montrent que la négation d’une forme normale de p donne immédiatement une forme normale de © p.

a) La négation d’une disjonction est équivalente au produit des négations des termes de la première (3.42).

b) La négation d’un produit est équivalente à la disjonction des négations des termes du premier (3.42).

c) ©.p est équivalent à p (P. M. 4.13).

3. Si p et q peuvent être mis sous la première forme, pvgq peut évidemment l'être aussi.

Si p et q peuvent être mis sous la deuxième forme, la remarque 3.45 permet immédiatement de mettre pvq sous la deuxième forme.

En procédant de proche en proche, on peut donc mettre toute proposition sous l’une ou l’autre de ces deux formes.

C’est ainsi que:

pv®q.©pva

est mis sous forme normale conjonctive, pe q.v. pq

sous forme normale disjonctive.

Remarquons enfin qu'une proposition peut être équivalente à plusieurs propositions normales.

C’est ainsi que: p.q.r.v.p.q.r et p.q sont équivalentes.

5.11. Remarque. Nous aurons besoin dans la suite de la remarque suivante.

Nous appelons occurrences d’une proposition élément p dans une fonction propositionnelle f(p), les places qu’occupe p

— 21 — Chapitre 1. 5.11.

dans cette fonction propositionnelle. C’est ainsi que nous dirons que p a deux occurences dans la proposition ©p.v.p va.

Nous attribuons à chaque occurrence un des signes -!- ou —, ce signe étant défini par récurrence de la manière suivante:

a) Dans la proposition p, le signe de l'occurrence de p est +.

b) Le signe change quand on passe de p à ©p.

c) Le signe est le même dans p et dans pvaq.

(En somme, le signe d'une occurrence dépend de la parité du nombre des signes © dans l'étendue desquels elle se trouve). Nous dirons aussi qu'une occurrence est positive ou négative, selon qu’on lui aura attribué le signe — ou le signe —. Ainsi, dans l’exemple précédent, une des occurrences de p est négative, l’autre est positive, celle de g est positive.

Supposons alors que dans une proposition P, toutes les occurrences de p aient même signe. On voit immédiatement que dans toutes les opérations indiquées en 5.1 qui permettent de fabriquer les formes normales, les signes des occurrences ne peuvent changer. Donc dans une au moins des formes normales de chaque sorte de P, p interviendra partout précédé ou non du signe ©, selon que ses occurrences étaient négatives ou positives.

5.2. Considérons alors une proposition mise sous forme normale conionctive; pour qu’elle soit vraie, il est nécessaire et suffisant que cette forme normale soit vraie (3.21), et donc que chacun des termes du produit soit vrai (3.43). Considérons un de ces termes: ou bien il y a une proposition élément qui y figure deux fois (au moins), une fois non précédée du signe ®, l’autre fois, précédée du signe ©; alors ce terme est une proposition vraie, Car:

—.pvop (PaM 92:11)

et si a est vrai, avb l'est (d’après la deuxième proposition primitive (2)).

Si donc cette circonstance est vérifiée pour tout terme du produit, la proposition considérée est une identité. Montrons que cette condition est nécessaire et suffisante pour la vérité de la proposition (elle fournira donc un critère pour reconnaitre si une proposition est vraie ou non).

Chäpitre 1052; = 1 =

Supposons donc cette condition non vérifiée pour un des termes du produit: une proposition élément, ou bien y figure partout non précédée du signe ©, auquel cas, nous lui donnerons la valeur logique , faux”; ou bien y figure partout précédée du signe ©, auquel cas nous lui donnerons la valeur logique »vrai”; ou bien n’y figure pas, auquel cas nous lui donnerons la valeur logique que nous voudrons. Alors, le terme considéré a la valeur logique ,faux”, et d’après 4.3, la proposition considérée ne peut être vraie.