e) Loi de dualité

Si, dans une proposition vraie ne contenant que les signes v ef ©, on change pvq en p.q, en tous les endroits où se présente le signe v, on obtient une autre proposition dont la négation est vraie.

Pour appliquer cette loi dans tous les cas, il faudra remplacer tous les signes par leurs définitions.

Cette transformation change donc:

pDq en ©.q)p p:q en pvaq on CROQUETTES

Donnons, dans la proposition P et dans sa transformée P, des valeurs logiques aux propositions éléments, de manière que ‘ la même proposition élément ait des valeurs logiques différentes dans P et dans P; Alors P et P auront des valeurs logiques différentes. On démontre ceci par ,récurrence sur la construction de P:”

a) Si c’est vrai pour P et P, c’est vrai pour ©P et ©P

b) Si c'est vrai pour P et P, et pour Q et Q, c’est vrai pour PvQ et P.Q (car P.Q a même valeur logique que æ.wPyæQ, donc que ©.PvQ.

En particulier, si P et Q ont pour conjugués P et Q, de de —.P=Q on déduit -.P=Q.

C’est ainsi que de la vérité de l’un des théorèmes énoncés en 5.34, on déduit la vérité de l’autre.

5.36. f) On peut toujours fabriquer comme on le voit aisément, une fonction propositionnelle, de l’une ou de l’autre des formes normales, des propositions éléments p;,p»,...,p,, telle que sa valeur logique soit une valeur logique donnée d’avance pour tout système de valeurs logiques des p,.

C'est ainsi qu'étant donnée une fonction propositionnelle A (p:: P#..., p,) de propositions éléments p;,p:,...,p,, on peut construire une autre fonction propositionnelle B(p,, p,, : Pan) ne

contenant plus certaines propositions éléments P8, Pa... P8

papas celle de la première quand ces dernières propositions éléments ont des valeurs logiques données d'avance: si cette valeur logi-

que est le vrai pour les pe, et le faux pour P.;, il suffit, pour

l 4 Ps et telle que sa valeur logique soit la même que

obtenir B, de remplacer dans À chaque Pe, Par rvœr et chaque p,, par r.®r, pr étant une des autres lettres; on pourrait

aussi prendre pour r une nouvelle proposition élément: cela a l'avantage (que nous utiliserons plus tard) de ne pas changer le signe des occurrences d’un des p,.