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a et b étant deux lettres, cela nous permet d'écrire les combinaisons: a-|-b et a.b. Remarquons que ces règles de calcul sont les règles de calcul dans le corps des restes mod. 2 en arithmétique ordinaire, et que donc toutes les règles du calcul algébrique ordinaire, sont valables (nous emploierons aussi les mêmes termes qu’en algèbre).

Pour exprimer qu’un polynome À (p;,p:,..., p,) est nul quelle que soit la valeur des lettres qui y figurent, nous employons la notation habituelle: À (p;, p:,..., p,) = 0 (mod. 2).

Remplaçons toute proposition par un polynome, en considérant que les lettres qui y figurent désignent 0 ou 1; que ©p est mis à la place de 1 +p et pvq à la place de p.q. Alors, pour qu'une proposition soit vraie, il faut et il suffit que le polynome correspondant soit toujours nul, quelles que soient les valeurs des lettres qui y figurent.

En effet, il suffit de vérifier que, si l’on attribue des valeurs logiques aux propositions éléments d’une proposition, et que l’on remplace les lettres correspondantes par 0 et 1 selon que cette valeur logique est le vrai ou le faux, la valeur logique de la proposition est le vrai ou le faux selon que le polynome correspondant vaut O0 ou 1 pour ces valeurs. Or, cela se démontre immédiatement par récurrence sur la construction de la proposition, quand on se rappelle la définition de la valeur logique (4.1).

Comment reconnaître qu’un polynome est toujours nul mod, 2? Commençons, en utilisant la congruence p"—p (mod. 2), à le réduire à une somme de monomes ne contenant aucune puissance supérieure à la première. 1! faudra alors que les coefficients soient tous pairs (et cela suffira évidemment).

Supposons, en effet, que ceci soit démontré pour un polynome à n—1l variables, et démontrons-le pour n variables; le polynome s'écrit:

ai Pia as... à) Pa (as Assvse a.)

Pour un système de valeurs de a,,a;...a,, donnons à a, les

valeurs 0, puis 1; on voit qu'il faut que: