Chapitre
Nous démontrerons ce théorème par récurrence sur la construction de F(p), que nous supposons mis sous forme normale; les règles de passage conduisent alors immédiatement au cas général. Nous avons vu (3.11) que, pour construire cette fonction propositionnelle, nous pouvons procéder comme suit: partir d’une proposition élémentaire; puis effectuer des opérations comme la suivante: passer de ® x
AU ou à
Il suffit alors de démontrer les quatre points suivants:
1% Le théorème est vrai pour les propositions éléments.
Ceci est évident.
2°, Il est vrai pour les propositions élémentaires; car celles-ci se forment à partir des propositions éléments par combinaison avec les signes © et w. Notre affirmation résulte alors des identités de première espèce:
HipDg:2.qD>p
en) Dire ai vert 3. Si le théorème est vrai pour F(p), F(p) contenant la variable réelle x, il est vrai pour (x).F(p), car en utilisant les règles de généralisation et de passage, on a successivement:
be as Bo) F 0)
en supposant, pour fixer les idées, que l’occurrence de p est
et
positive dans F(p); puis:
pa (ee (D) PQ) pire (At) OE Ce
On procède de même si l'occurrence de p est négative. 4, On montre de même qu'il est vrai pour (4x).® x. Ce qui démontre le théorème.
