Lien avec la théorie des identités de première espèce

4. Théorème. Si, dans une identité de première espèce, on remplace les lettres qui y figurent par des propositions non élémentaires, on obtient une identité de deuxième espèce.

— 57 — Chapitre 2. 4.1.

4.1. Nous allons démontrer ce théorème d’abord dans le cas particulier où chacune des propositions éléments de l'identité de première espèce, n'a qu'une occurrence de chaque signe au plus. Puis, nous en déduirons un certain nombre de conséquences, qui nous permettront de démontrer le cas général.

Soient donc p;,ps,...,p, toutes les propositions éléments de l'identité propositionnelle de première espèce A(p;,p,...,p,) (chaque p, n'ayant qu'une occurrence de chaque signe).

Remplaçons p:,p3...,p, par ®,,%.,...,4 (qui peuvent être non élémentaires) et p, par (4x). x ou (x).®D,x, D, x étant une proposition contenant la variable réelle x.

Nous allons démontrer que la démonstration de la proposition ainsi obtenue se ramène à celle de la proposition obtenue en remplaçant p;,p2,...,p, par ®x,®.,...,® . Donc, dans chaque cas déterminé, on peut répéter un certain nombre de fois cette opération qui, à chaque fois, transforme une variable apparente en variable réelle, jusqu’à ce que l’on n’ait plus à rempla- CET Pis Ps... pP, Que par des propositions sans variables apparentes, auquel cas la vérité de la proposition résulte de la règle de substitution (Ch. 1, 3.1).

Supposons, pour fixer les idées (l’autre cas se traitant exactement de même) que l’on remplace p, par (4x).®,x. Mettant en évidence les deux occurrences de (4 x).®, x, la proposition à démontrer peut s’écrire:

A((4x).P: x, (y): y, pu ..., p,) (4x).®, x sera considéré comme étant dans l’occurrence positive, et (4y).®, y dans l'occurrence négative); d’après 3.12, la démonstration de cette proposition revient à celle de:

ta) AC x Dir, D: 2, D).

Or, supposons démontré:

=. A(P y, dy, D,...,0).

On en déduit successivement:

H:(4 x). 4 (8, x, Di y, D,...,d) par la deuxième règle de généralisation et + :(9) (4 x). 4: x, D: y, D, ...,d)

par la première.