Chapitre 2. 4.6. A

On en déduit bien aisément, grâce à 4.2 et 3.2, qu’une proposition mise sous forme normale (3.1) est équivalente à celles obtenues en permutant deux symboles de variables générales, ou deux symboles de variables restreintes; et implique (Ch. 1, 3.22) celles obtenues en reculant vers la droite un symbole de variable restreinte, ou en avançant vers la gauche un symbole de variable générale. ;

4.7. Corollaire 6. J/ revient au même de démontrer ® x et (y)®y. Car: a) On passe du premier au deuxième par la première règle de généralisation.

b) On passe du deuxième au premier en remarquant que:

Dx )Dx est une identité, vraie d’après 4.1; donc, on déduit d’après la deuxième règle de généralisation:

-:(4y). y DPx donc, d’après les règles de passage:

VENTE 5. Suite du paragraphe précédent.

Nous pouvons maintenant aborder la démonstration complète du théorème du paragraphe précédent.

En prenant les même notations que plus haut, nous remplaçons dans A(p;,p»,...,p,), Pis Ps...,p, respectivement par (12): Dx D. De :

(On raisonnerait de même si on remplaçait p par (x). D, x).

Nous allons montrer que la démonstration de la proposition ainsi obtenue se ramène à celle de la proposition obtenue en remplaçant, dans une autre identité de première espèce portant également sur n propositions éléments p;, p»,...,p,, ces propositions éléments par ®, x, D.,,..., d . Ce qui entraîne, pour la même raison que précédemment (4.1), la vérité du théorème étudié.

Supposons que p, ait + occurrences En et 5 négati-

ves, dans A(p:,p:,..., p,), que nous écrivons: À (Pas Pise P13 Pis Pieces P13 Par Parce: Pr) de fois 6 fois

pour mettre en évidence ces occurrences (les & premiers p; provenant des occurrences positives; les 8 suivants des négatives).

— 41 — Chapitre 2. S.

Il faut démontrer:

At) Die: (x) Pix:

(4 Xe 1): ®: Æujiresss (3 E2) sure Xu185 Pare, D)] où bien:

t(tursex, 0) rer em) Ales Dis

®, ie Pre DER D]

qui équivaut à la précédente par application des règles de passage, comme on peut le voir d’après 3.12; il suffit, d’après la première règle de généralisation, de démontrer que:

ER Nr) ATP ED x so, Æatpeeer Dikse Dee D] ou même :

»la disjonction pour toutes les valeurs de i de +1 à 8 des propositions: A[D,x,...,®, x; ©. Zu” .®, k6 5 Poe Dale sont des identités proportionnelles car il en est alors de même de la proposition précédente grâce à la deuxième règle de généralisation, et la règle généralisée de simplification (4.5).

Montrons que cette dernière une identité de première espèce.

Il suffit de montrer que:

»la disjonction pour toutes les valeurs de i de +1 à 6 des aa CONTRE FE DE DA est une identité de première espèce, sachant que: Aer anianesars)b: 24] en est une autre.

Nous étudions pour cela la valeur logique de A4. Donnons des valeurs logiques déterminées à toutes les propositions éléments b:,-:.:0.. AC; --.;c; Gyyueres Gus bn... b,) devient alors équivalent à une proposition B(c; a,:,,..., ac ; r), obtenue suivant la méthode du Ch. 1, 5.36, en remplacant les b, par rv ©r ou r.©r, r étant une nouvelle lettre. On sait que:

1% Dans B, c n'a que des occurrences positives et les a, que des occurrences négatives.

2, B(c:c,...,c;r) est une identité.

Il faut démontrer que, pour une valeur logique déterminée des a, (et quelle que soit celle de r), en remplaçant © par is d,.., où a, un des B obtenus ait la valeur logique vrai.

Dans une forme normale conjonctive convenable de B(c;aa;...a,;r) chaque terme du produit est une disjonction