Chapitre 2. S

de propositions de forme a, ©c, r ou ©r (d’après la première propriété, et Ch. 1, 5.11); dans ceux de ces termes qui ne contiennent pas à la fois r et ©r (les autres sont donc des identités), figurent effectivement des propositions d’une des deux premières formes, d’après la deuxième propriété et le critère de vérité du Ch. 1, 5.21. Donc chacun de ces termes est équivalent à un terme de forme:

ava,v...va;vM

M ayant l’une des formes ©c ou ©cvN, N ne contenant que la lettre r.

Alors, pour une valeur logique déterminée de a;,a,...a,, ou bien tous les a; ont la valeur logique , vrai”; et on voit que B a cette même valeur logique, quelle que soit celle de c; ou bien a, a la valeur logique ,,faux”; 20e en remplaçant c par a;, B acquiert la valeur logique ,, vrai”.

Nous avons donc démontré le théorème Hoe

5.1. Voici une conséquence et une généralisation de ce théorème :

Règle de substitution. Si une proposition est vraie, on obtient d'autres proposition vraies en remplaçant les fonctions propositionelles éléments par des fonctions propositionelles quelconques ayant les mêmes arguments.

(Car on peut faire cette substitution dans tout le cours de la démonstration, en particulier, d’après le théorème précédent, dans Îl:s identités propositionnelles sans variables apparentes dont on part).

| 6. Une autre méthode.

6. Nous allons maintenant indiquer d’autres méthodes pour fonder la théorie des identités de deuxième espèce. Elles ne différeront de la précédente que par les régles de raisonnement, et non par les signes employés.

6.1. Commençons par indiquer la démonstration-type d’un lemme qui sera nécessaire dans l’étude de chaque méthode, et dont un cas particulier a d’ailleurs déjà été démontré dans la méthode jusqu'ici employée (4.2)):

Lemme. Si F(p) est une fonction propositionnelle de la proposition p, on a:

-—:p=q: ).Fp)=F(a).

— 43 — Chapitre 2. 6.1.

On démontre ceci par récurrence sur la construction de F.

Nous supposons qu'on opère dans une méthode où sont vraies les identités de première espèce portant sur des propositions non élémentaires, et la règle d’implication.

1°. Si le lemme est vrai pour F(p) et ®(p), il l'est pour © F(p) et F(p)v®(p}, d'après les identités de première espèce :

—ia=b. ).oa=vb —:.a=b.c=d. Diavc.=.bvd

et la règle d’implication.

2°. Si le lemme est vrai pour F(p),(F(p) contenant x), il l’est pour (x). F(p) si on peut déduire :

—:(x).Dx.=.(x).VW'x (ou même seulement, comme on le voit aisément: —:(x).P x. (x). V x)

de: —.DPx=Vx.

3°. Dans les mêmes conditions, il l’est pour (4 x).® x, si on peut déduire

—:(4x).Dx.=.(12) x (ou même seulement: |—:(4x).® x. (4x). W x) ie —.P x = x.

Donc, dans chaque méthode, il faudra regarder si on peut démontrer ce lemme (la deuxième partie de la démonstration devient inutile dans les méthodes où l’on définit les symbolas (x), la troisième partie dans celles où l’on définit les symboles (4 x), à partir des autres symboles.

6.2. La première de ces nouvelles méthodes a un intérêt pratique pour les démonstrations futures (nous la désignerons toujours par ,la deuxième méthode”). Elle consiste à considérer que les symboles comme (x) sont définis à partir de ceux tels que (4x) , de la manière suivante:

(le deuxième membre donnant, comme toujours, la signification du premier). Les règles du raisonnement y sont les suivantes:

1°. Toutes les identités de première espèce donnent des propositions vraies quand on y remplace les propositions élé ments par des propositions quelconques.