Les règles de passage suivantes

On peut remplacer à l'intérieur d'une proposition :

(4x).Pxvp par (4x).Px.vp et réciproquement, et (4 x) .Dx.p par (I x) .P x:p et réciproquement, ® x étant une proposition pouvant contenir la variable x, p une proposition ne la contenant pas.

3°. Les deux mêmes règles de généralisation que dans la première méthode; et la règle d'implication.

6.21. Pour démontrer dans la deuxième méthode le lemme 6.1, il suffit de montrer que de —.®x )Wx, c’est-à-dire: —:c®x.v.VW x on déduit: -—:(4x).Dx. )(1x).Vx.

Or, (règles de généralisation et de passage), on en déduit: —:oDx.v.(Ay) Vy

mais cette proposition, en vertu d’une identité de première espèce, implique la suivante:

—:.obzxvioc:(qy).Vy dont on déduit:

(Dr. 7 co: (4); c'est-à-dire :

::o(4x)æ:.cobDz.vi:o:(1y).Vy

—:©(4x).Dx.o(ay)V';

d’où on tire (règle de passage).

—:(4x).Dxr:æ(iy).Vy

qui implique, en vertu d’une identité de première espèce:

—: (4x). x. D.(y).Yy.

Ce qu'il fallait démontrer.

6.22. Toute proposition vraie dans la deuxième méthode est vraie dans la première; cela résulte de ce que toutes les règles de la deuxième méthode sont des règles de raisonnement également dans la première, et de la remarque suivante: dans la deuxième méthode, on peut remplacer (x) ® x par © (4 x) © d x et réciproquement; or dans la première méthode, il résulte de:

ou :

ave Chapitre 2. 6.22.

F1 (x) D x.=. 00. (4 x) © D x et du lemme (6.1), qu'on peut en faire autant,

Toute proposition vraie dans la première méthode, est vraie dans la deuxiéme. Les seules règles de la première méthode qui ne sont pas dans la deuxième sont en effet les suivantes:

a) La règle de simplification, qui résulte dans la deuxième méthode, de l'identité PvP. )P et de la règle d’implication.

b) Les règles de passage. |

Dans la deuxième méthode, les règles de passage du signe © résultent de la définition de (x).®x, et de l'identité —.N p=p, jointe au lemme (6.1).

Pour les règles de passage du signe v, il suffit de remarquer que (x).® xvp, dans la deuxième méthode, c’est:

et en définitive à: (x) ® x.vp, tout cela par application réitérée des règles du raisonnement et du lemme 6.1.

6.23. Dans cette deuxième méthode, pour faire les récurrences sur la construction des propositions, il est inutile de tenir compte des symboles (x): il n’y a plus que trois méthodes pour construire les propositions, en utilisant les signes v, © et les signes de forme (4 x).

De même, les démonstrations par récurrence sur les démonstrations sont modifiées à cause des modifications des régles du raisonnement.