Chapitre

donc essentiel, d’après le point de vue exposé dans l'introduction, de montrer son équivalence avec les précédentes.

Elle définit (4 x).® x par:

(Ax).Dx:—:o(x) ©. »% Df et admet les propositions primitives suivantes :

1% Les identités propositionnelles de première espèce.

2, Ær(G Pr). dy Pp (P.M. 10.1) B (xl pr Dr pr (eee Pp (P.M,;,110:12) D, -i(xy).Dxy. ).(yx).Dzxy Pp (P.M. 11.07) et les deux régles suivantes: Si |—.®y où y est variable réelle, |—:(x)® x (P.M. 10.11)

SE SD TRE EE D Me de

Dans toutes ces règles et propositions, on peut remplacer les lettres p, q et ® par des propositions ou fonctions propositionelles quelconques.

On démontre les propositions suivantes:

(5) —:.(x).pvDx.=:pv.(x).Bx (P.M., 10.2) (GC) (ir) brPx pr (12) D (P.M., 10.36)

Remarquons d’abord que, en consultant l'emploi que Russell et Whitehead font de la deuxième Pp, on voit qu'il faut l'écrire:

sb dyr On en déduit (en remplaçant ® par © ®):

1x). D xy. ).Dyy c'est-à-dire: -—:(4x).Dxy.v. Dyy donc :

—:Dyy D.({x).®xy.

On en déduit que la deuxième règle de généralisation est vraie dans cette méthode.

Le lemme 6.1 se démontre alors aisément; car de |—.® x )Wx on déduit |—-.(x).® x. }).(x).Wzx, en utilisant les deux premières règles de généralisation, et la troisième Pp.

Montrons que cette méthode équivaut à notre première méthode.

1°. Toute proposition vraie dans la nouvelle méthode, l'est dans la première.

— 47 — Chapitre 2. 7.1.

On démontre en effet, dans dans notre première méthode, que sont vraies:

a) les identités de première espèce ($ 4);

b) les propositions primitives 2, 3 et 4, qui se déduisent immédiatement par les règles de généralisation et de passage respectivement des identités de première espèce :

Frey Etpedz 1 pvoz Pr D 7:

(a) Dr De be et

io(x) D x. ).(4x).D x et il suffit alors d'utiliser 4.3).

Il suffit alors d'utiliser le théorème 4.2, pour voir que toute proposition vraie obtenue dans la nouvelle méthode par l'emploi de la définition de (4 x). x peut aussi être obtenue dans notre méthode.

2°. Que foute proposition vraie dans l'ancienne méthode le soit dans la nouvelle, cela résulte de ce que, dans cette nouvelle méthode, on peut démontrer:

a) Les règles de passage, à cause du lemme (6.1); des propositions 5 et 6, et de la Df.

b) La règle de simplification, qui résulte de l'identité:

ÉrPeP EDP

les autres règles de raisonnement de la première méthode étant comprises dans celles de la nouvelle.

Remarquons que la quatrième proposition primitive de la théorie est une conséquence des autres; en effet, elle n’a pas été utilisée dans cette dernière partie de la démonstration, et nous avons vu qu’elle pouvait être démontrée dans notre méthode.

7.2. Nous n’exposerons pas la deuxième méthode de Russell et Whitehead, Elle est d’ailleurs assez incomplètement exposée (P.M., 9), et est très voisine de notre méthode primitive, car on y obtient immédiatement les règles de passage, et on y admet comme vraies les identités propositionnelles de première espèce, uniquement quand on remplace leurs propo-