Les champs finis

8. Pour étudier les propriétés des propositions, nous emploierons plusieurs fois le procédé suivant: nous ferons correspondre à toute proposition, une autre proposition que l’on appellera sa réduite, et c'est cette réduite que nous étudierons. On la définira de la manière suivante:

On définira les réduites des propositions éléments; on conviendra que si la réduite de P est p, celle de © P sera ©p; que si les réduites de P et Q sont p et q, cele de PvQ sera pvg; on donnera enfin le moyen de trouver la réduite de (4 x) P x connaissant celle de ® x.

Comme toute proposition, dans la deuxième méthode (6.2), est composée à partir des propositions éléments en les combinant avec les signes ©, v et (4), ces régles permettront de trouver la réduite de toute proposition déterminée.

8.1. Appliquons ceci à un exemple. Considérons n variables que nous désignerons pas a,,a:,...,a, (n est un nombre déterminé). Convenons que la réduite d’une proposition élément est cette proposition elle-même ; et que si la réduite de ® x est © x, celle de (4Ax).® x est: pavypav...vpa..

Nous allons montrer que:

Théorème. Si Dy;y:...y, est une proposition vraie avec les seules variables réelles y, y», .…., y,» la réduite de (yiy2...y,) By:y:...y, (qui ne contient plus de variables apparentes) est une identité propositionnelle de première espèce en ses propositions éléments.

8.10. On n’a pas à s'occuper dans la démonstration de ce théorème, de savoir si une variable figure effectivement ou non dans ®, car si on considérait une variable fictive” (1.2) de ®, cela reviendrait à remplacer ® par DvdDv...vd; or,ces propositions sont équivalentes. Re

8.11. Remarquons que les propositions ayant leurs réduites vraies, sont en quelque sorte celles qui sont vraies quand il n'y a que n individus différents: à@;,a,...,a, que puissent représenter les variables.

149 Chapitre 2. 8.12.

8.12. Remarquons en outre que la réduite de (x). x sera, par définition, (d’après 6.2) la même que celle de © (4 x) ©. x: donc, si la réduite de ® x est » x, celle de (x). x sera: w A-P Ar... Pa, (Ch. 1, 3.42). Donc, si la réduite de ® y, cp St Pi... celle de (y; «..ÿ,). Dy:...y, est le produit des propositions obtenues en remplaçant dans &y:...7,,y1,...,y, de toutes les manières différentes par a,a»...a,. :

Pour que la réduite soit vraie, il faut et il suffit que toutes ces propositions soient vraies.

8.2. Considérons donc un raisonnement: il faut montrer que la propriété envisagée dans le théorème est vraie pour les propositions primitives, et qu’elle reste vraie quand on applique les règles du raisonnement; de telle manière qu’en répétant un certain nombre connu de fois les démonstrations qui vont suivre, on puisse être certain que la conclusion du raisonnement possède la propriété envisagée !).

Nous nous plaçons, dans ce qui suit, comme nous avons dit, dans la deuxième méthode (6.2).

1%. La propriété est évidente pour les identités de première espèce portant sur des propositions quelconques, d’après la règle de substitution du Ch. 1 (3.1).

2°. Supposons la propriété vraie pour ® xy;y2...y,: elle l’est encore pour (x). xy;y...y,, comme on le voit d’après la remarque 8.12.

3. Supposons la propriété vraie pour Dyyz;...z,; soit Yxyzi...z, la réduite de ®xyz;...z,; on voit immédiatement que la réduite de Dyyz,...z, est ®yyz,...z,; alors la remarque (8.12) montre que la propriété est vraie pour (x) Pryzi 7:

4, La propriété reste vraie dans les règles de passage.

En effet :

a) Les réduites de (4x).Dx.vp et (4x).®xvp sont équivalentes; car si les réduites de ® x et p sont #x et &, les

deux réduites sont: