Chapitre

b) Les réduites de (4x).® x:p et (4x).® x.p sont équivalentes; Car, avec les mêmes notations, ce sont:

Pa. Ve P AD VorrVe E An e À et NI PaVPAV...Vea,.0

qui sont équivalentes d’après le théorème de distributivité (Ch/21,:5.3#).

5. Si la propriété est vraie pour Dy:...y,vDy:...y, elle l’est pour Dy,...y, comme on le voit d’après la remarque 8.12.

6. Si la propriété est vraie pour Dy:y,...y, et Pyi27 D Wyr...y,, elle est-vraie pour Vy 7

En effet, soient wy:...y, et pe .y, les réduites de by. pr ete y... ps dufati-qu'en FÉRRIAOnE les y, pas les a; +. manière quelconque, dans:

PYis..Y, et TP OTEN EM A re”

ces propositions demeurent vraies, on en déduit la même proprétéspour y...

8.3. Remarque I. Quand une proposition satisfera à la condition énoncée dans le théorème, nous dirons qu'elle est vraie dans un champ de n éléments et le critère correspondant nécessaire pour la vérité d’une proposition sera dit un crifère de champ, d'ordre n.

On remarquera que si une proposition est vraie dans un champ de n éléments, elle est vraie dans tout champ d’un nombre moindre d'éléments (il suffit pour le voir, de faire un nombre suffisant a; d’identiques entre eux).

Les champs considérés ici seront dits , finis” (par opposition aux champs infinis du Ch. 5).

8.31. On voit que la réduite d’une proposition p sans variables apparentes, est une fonction propositionnelle de première espèce des propositions Pa;a;...a obtenues en remplaçant, dans les propositions éléments, les variables par des a, d’une manière quelconque. Si on donne des valeurs logiques (Ch. 1, 4.1) à ces propositions, on en déduit des valeurs logiques pour la réduite de p; on dira que c’est la valeur logique de p correspondant à ces valeurs logiques. On voit qu'avec cette

oi Chapitre 2. 8.31.

désignation, la valeur logique d’une proposition vraie est toujours le vrai, d’après le théorème 8.1, et celui du Ch. 1, 5.21.

8.4 Remarque 2. Pour obtenir le critère d'ordre 1, on voit qu’il suffit d'enlever tous les symboles de variables apparentes, et de remplacer toutes les variables par une même lettre: on doit avoir une identité, si la proposition dont on part est vraie.

Une conséquence en est que la théorie jusqu'ici développée est non contradictoire (car si P et ©P étaient vraies simultanément, leurs réduites dans un champ d’un individu, p et © p, seraient vraies simultanément; ce qui est impossible, d’après (Eh: 4). j

8.5. Remarque 3. Une proposition vraie dans tous les champs finis n’est pas forcément vraie, comme le montre l'exemple de:

D::(xyz):Dxy.Dyz. DDbxz:obzrx:.(y)(4x).Dxy

qui est vraie, comme on le voit aisément, dans tout champ fini; et cependant, n'est pas vraie).