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Nous allons étudier quelques cas classiques où les critères de champ donnent des conditions suffisantes de vérité. 9.1. 1° Théorème. Pour que la proposition:

(1.4) (Ayic.y,). D xs, yi...y,

(sans autres variables) soit vraie, il est nécessaire et suffisant qu'elle soit vraie dans un champ de n éléments a, a:,...,a,”).

C'est évidemment nécessaire.

C'est aussi suffisant, car dans ce cas la disjonction des Pa;...a,y1-..y, quand on remplace les y par les a de toutes les manières possibles, est vraie; or, chacun des termes de cette disjonction implique (4y,...y,).® a;...a,y1...y,; de l'identité de première espèce:

1) En effet, si on utilise les notations de l’arithmétique, et qu’on remplace Pxy par x=>y, on aura un théorème faux en arithmétique ; il résultera plus loin de la non-contradiction de l’arithmétique, que la proposition ne peut être une identité.

2) Voir Bernays et Schônfinkel. Math. Annalen, tome 99, p. 359.