Chapitre

Es A )Ps4 0 P .... À, )P.A;vAv...vA,:.3P

on déduit :

Fi(Ayisy,)-Pba...a,yie..ÿ,:

et de là, la proposition cherchée, par la première règle de généralisation. aa

Remarque. On peut avoir p—0; ou n—0; dans le deuxième cas, il suffit, comme on s’en assure aisément, de vérifier la proposition dans un champ d’un individu. à

9.2. 2° Considérons une proposition P dans laquelle toutès les fonctions propositionnelles éléments n'aient qu'un seul argument ‘). Nous allons la mettre sous une forme canonique.

Soient ®, x, D,x,....,d, x les fonctions propositionnelles éléments. Considérons les’ 2" produits que l’on peut former avec ces fonctions propositionnelles, précédées ou non du signe =.

Par exemple, si n —72, ces produits seront:

D, x.d, x f Pix. Pb, x

Posons: 2"—q et appelons 4,x, Are A,x ces produits. On a (ce sont des identités de première espèce que l’on vérifie immédiatement) :

+ .A,x. Aix si i+} k RS A,x.=.A;xvdxv..vA; ;xv 4 ;xv..vA,x

la disjonction du deuxième membre contenant tous les AÀx, sauf À,x. à Loge

Appelons p,; la proposition (4 x). A,x. Nous allons montrer que l’on peut trouver une proposition équivalente à P et de forme suivante: Une fonction propositionnelle de première espèce des p, et des À;x, (les x, étant les variables réelles); tous les À;x, étant dans des occurrences positives.

1) Le résultat de ce paragraphe a été trouvé indépendamment par de nombreux auteurs; on peut consulter: Behmann. Beiträge zur Algebra, der Logik, Math Annalen, Tome 86; Lôwenheim. Über Môglichkeiten. im Relativkalkül, Math. Annalen, Tome 76; enfin H. et A., p. 77. Nous

donnons ci-contre, une démonstration que nous croyons nouvelle. :

— 53 — Chapitre 2. 9.2.

On démontre céci par récurrence sur la construction de la proposition P dans la deuxième méthode (6.2).

1° Si c’est vrai pour P et Q, ce l’est pour PvQ.

2. Si c’est vrai pour P, c'est vrai pour © P. Il suffit de [emerquenque les occurrences de À,x deviennent négatives, mais qu'on peut remplacer A,x par

D Aixv..vA; sav A; sxv.. A, x, d’après 4,2.

3, Si c'est vrai pour ® x, c’est vrai pour (4 x).® x. Mettons en effet 4 x sous forme normale disjonctive; il prend la forme: Q,xvQ,v...vQ x, chacun des termes Q,x de la disjonction est un produit de propositions p,, © p, êt A. {d'après Ch. 1, 5.11, il n’y a en effet, pas de © À,x,).

Comme ©.A,x.4,x est vraie si i+<j, on voit que l'on peut supposer que en x, figure une fois et une seule dans les À,x, constituant un de ces produits. Du fait que |

(4 x). Q,xv x v...va x.

est identique à:

(4 x).Q, x.v. as Q,x.v ..v(ax).Q x

comme on la voit sans peine, on déduit aisément le résultat cherché.

4, Reste à voir que les dx s'expriment en fonction des À,x. Or, on démontre immédiatement par le théorème du Ch. 1, 5.21, que ®,x est équivalent à la somme des À, x qui contiennent le terme %;x (et non sa négation: il y a 2"! tels À, x).

Pour vérifier si une proposition ® x,...x, (sans autres variables réelles) n’ayant que des propositions éléments à un argument est vraie, on considère (ce qui revient au même, d’après AIO x. 4). Darix...x, Qui est donc, d'apres ce qui précède, équivalente à une fonction propositionnelle A(p;, ps, ...p,), des p;; montrons qu'il est nécessaire et suffisant que cette fonction soit une identité de première espèce.

La condition est évidemment suffisante, d’après le théorème du $ 4 Qu'elle soit nécessaire, cela va résulter des considérations suivantes. Si À (Ds Pass Du) n'était pas une identité, il y aurait un système de valeurs logiques des p, lui donnant la valeur logique ,faux”, d'après Ch. 1, 5.2. Dans ce cas, soient, pour fixer les idées: p, p2,...,p, (r << q) ceux des p, ayant dans le système la valeur logique ;,vrai”. Considérons un champ der