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— 61 — Chapitre 3. 2.4.

d'hypothèses; seule la récente axiomatique de Neumann!) fait exception.

2.4. Nous supposerons implicitement, désormais, que les hypothèses n’ont pas de variables réelles, ce qui peut s’obtenir par l’emploi de la première règle de généralisation (Ch. 2, 4.7).

Considérons maintenant une théorie où il n’y a qu’un nombre fini d’hypothèses. On peut les remplacer par leur produit logique, de manière qu'il n’y ait plus qu’une hypothèse (Ch. 1, 3.43); de même comme on vient de le dire, on peut supposer qu’elle ne possède plus de variables réelles. Soit H la proposition ainsi obtenue; nous allons montrer que:

Théorème. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une proposition P soit vraie, est que:

H DP soit une identité proposifionnelle (au sens de 1.4).

Ceci se démontre par récurrence sur la démonstration de PL.

1°. La propriété envisagée reste évidemment vraie par les règles de passage.

2. Elle reste vraie dans les règles de généralisation, car de -.H )® x on déduit: —:H }).(x).® x et de: +-.H-DDyf on déduit: —:H ).(4x).® y x, grâce aux règles de généralisation et de passage, f étant un individu quelconque.

3. Elle reste vraie dans les règles de simplification et d’implication à cause des identités de première espèce:

ErePrP oi)?

HAL He) Pa O: tt DO:

4%, Elle est évidente pour les identités élémentaires de

première espèce à cause de l'identité:

ExsPiJH)P et pour l'hypothèse, puisque :

2.41. Remarque. 1. Ce théorème conduit également à un résultat dans une théorie qui a une infinitè d’hypothèses; dans la démonstration d'un théorème déterminé P, on n'utilise que certaines hypothèses déterminées; supposons-les sans variables

1) Journal für die reine und angewandte Math., 154, (1925); Math. Zeitschrift, tome 27 (1928).