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les variables étant dans cette nouvelle proposition de trois espèces différentes, celles de la première espèce désignées par xi,4»...x,3 Celles de la deuxième espèce par ÿ:,ÿ2,...y,; celles de la troisième espéce par z;,2:,...,z, —elle sera un produit de propositions-éléments d’une des formes suivantes:

Soit x,— a; chaque x, donnant lieu à une telle égalité et à une Seule

Soit z,—y,;+b, chaque z; donnant lieu à une telle égalité et à une Cr (les a, et les b, étant des chiffres).

Remarquons, pour fixer les idées, que les variables de certaines espèces peuvent manquer totalement.

Nous allons démontrer cela par récurrrence sur le nombre des variables.

Quand il n’y a qu’une proposition-élément dans le produit, elle est a) soit de forme: x + à — b auquel cas elle est, ou fausse, donc équivalente à 00, ou équivalente à x—b— «a (d’après 1.33 et l’axiome 6).

b) soit de forme x + a— x—<-b, auquel cas elle est ou fausse, donc équivalente à 00, ou vraie, donc équivalente à 0—0 (d’après 1.34, 1.31, et 1.32).

c) soit de forme x La—y—b, auquel cas, elle est équivalente à x—y—(b— a),

si, pour fixer les idées, b est plus grand ou égal à a (d’après 1.33).

Ajoutons maintenant aux produits de la forme susdite une nouvelle proposition-élément.

a) ou bien elle ne contient pas de variable; on sait donc si elle est vraie ou si elle est fausse; dans le premier cas, on peut supprimer la nouvelle proposition élément; dans le deuxième cas, on remplace la proposition par O0 (d’après 1.31, 1.32 et 3.11).

b) ou bien elle est de forme t—a—b, t étant une variable; on peut évidemment toujours, en remplaçant s’il y a lieu { par sa valeur prise dans un des autres facteurs du produit (ce qui est légitime d’après 1.35) remplacer cette proposition, par une autre équivalente, soit rentrant dans le cas ci dessus, soit de même forme, mais telle que f soit une variable de deuxième espèce. Dans ce dernier cas, si a est supérieur ou égal à b, le produit est équivalent à 0 0; sans cela, notre proposition élé-

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ment équivant à: f—b—a; on remplace alors { par ce chiffre dans les égalités contenant f, et le produit prend la forme indiquée (d’après 1.33, l'axiome 6 et 3.11).

c) ou bien elle est de forme t+a—t—+b; si a est différent de b, le produit est équivalent à OH 0; sans cela, on peut supprimer cette nouvelle ‘proposition-élément (d’après 1.34, 1.31, 1.32 ét 3.11).

d) ou bien elle est de forme ta — sb; on peut, comme en b) supposer s et £ de deuxième espèce. Supposons, pour fixer les idées b supérieur ou égal à a; elle est équivalente à:

t—s—+}(b— a) (d'après 1.33)

en remplaçant f par cette valeur dans toutes les égalités contenant #, on ramène le produit à la forme cherchée (d’après 1.35).

3.13. Ajoutons maintenant au produit des inégalités; une discussion analogue conduit à la forme canonique suivante d’un produit de propositions simples:

a) ou bien 0—0

b) ou bien 0+0

c) ou bien un produit de propositions x, — a; pour i—1,2,...,n,

z;= y, + b; pour i—1,2,...q, j y dépendant de i, (chaque x; et chaque z, donnant lieu à une égalité et une seule);

y; = y; tb, (un couple i, j, pouvant donner lieu à plusieurs inégalités); y, d;(un même y, pouvant entrer dans plusieurs de ces inégalités).

On en déduit en tenant compte des remarques (3.11) la forme canonique d’une proposition, qui est:

a) ou bien 0—0

b) ou bien 0 +0

c) ou bien une somme de produits de la forme qu’on vient d'indiquer.

C’est ainsi que:

x=0.v.x=l.zantl.z=y+l.y Ey.yi+l

est de forme canonique.

Remarquons enfin qu’une proposition peut être mise de plusieurs manières sous forme canonique; en particulier, si, dans un terme de la disjonction, on a un facteur tel que Z;—=ÿp On peut prendre z; au lieu de y, comme variable de deuxième espèce, en remplaçant, dans tous les autres facteurs y; par Z;.