Un critère de vérité

4. Considérons une proposition P; soit Q une proposition équivalente de forme canonique. Ou bien Q est 0 —0, auquel cas P est vrai; ou bien Q est 0-0, auquel cas © P est vrai. Dans le cas contraire, montrons qu’on peut remplacer les variables de P par des chiffres tels que Q soit vrai.

Q est, en effet, une disjonction; considérons un de ses termes. C’est ce terme que nous allons rendre vrai. Faisons d’abord les variables qui sont, dans ce terme, de première espèce (3.12), égales aux chiffres auxquels elles y sont égalées. Considérons maintenant les variables de seconde espèce Yuaseeer Van Prenons d’abord pour y, une valeur telle que toutes les inégalités de forme y, a, (a étant un nombre) soient vraies. Puis choisissons y, tel que toutes les inégalités contenant y; seul, ou y2 et y1, soient vraies quand on remplace y, par sa valeur; c’est possible d’après (1.37). Nous choisissons ainsi des chiffres pour les y, de proche en proche par la loi générale suivante: une fois choisi y,y»-...,y; nous choisissons y,,, de telle manière que toutes les inégalités contenant y,,,, ou bien y,,, et y, (où j est un indice plus petit que i1) soient vraies.

Nous choisissons enfin les variables de troisième espèce, de telle manière que les égalités qui les relient à celles de deuxième espèce solent vraies.

Il est alors évident que quand on remplace toutes les variables de la manière indiquée, Q devient vrai (d’après le critère de 2.1).

4.1. Nous arrivons donc à la conclusion que, ou bien on peut démontrer © P, ou bien on peut remplacer les variables de P par des chiffres tels que P devienne vrai. En remplaçant P par ©P, nous avons donc indiqué un procédé permettant, étant donnée une proposition, ou bien de démontrer qu'elle est vraie, ou bien de remplacer ses variables par des chiffres la rendant fausse.

Dans ce deuxième cas, à cause de la non-contradiction de notre théorie, la proposition ne peut-être vraie, et ce critère permet donc de reconnaitre si une proposition est vraie.

4.11. On peut aussi dire, pour résumer cela, qu’une proposition est vraie, quand on sait que tout système de chiffres mis à la place de ses variables, la rend vraie,

— 73 — Chapitre 4. 4.12.

4.12. Considérons en particulier la proposition P=—Q; la méthode précédente permettra alors, ou de démontrer l'équivalence de P et de Q, ou d'y remplacer les variables par des chiffres rendant l’un vrai et l’autre faux.

S. Introduction des variables apparentes.

5. Considérons maintenant une autre théorie mathématique où l’on pourra utiliser les variables apparentes et qui aura comme hypothèses :