xÆEx+a (pour tout chiffre a

Nous l’appellerons: Théorie 2 (en abrégé Th. 2).

Remarquons qu’il est bien évident, maintenant que nous employons les variables apparentes, que toutes les hypothèses de l’ancienne théorie sont vraies dans la nouvelle (à cause de l'identité —:(x).® x. ).® y).

Cette théorie ne diffère donc de l’ancienne que par l’introduction de variables apparentes.

La non-contradiction de cette théorie et de celle que nous allons considérer plus loin a été démontrée pour la première fois par Neumann, par une méthode très compliquée (Math. Zeitschrift, t. 26); un précédent essai, dû à Ackermann (Math. Annalen, t. 93) a été critiqué par Neumann qui en a montré les erreurs et les lacunes; enfin, Hilbert et Bernays, dans les »yAbhandlungen der Math. Seminär der Hamburger Univ.”, ont indiqué les grandes lignes d’une autre méthode, sans d’ailleurs achever la démonstration. Nous exposons, dans ce qui suit, une nouvelle méthode, qui outre sa simplicité relative, permet de démontrer beaucoup plus que la non-contradiction.

Nous ferons correspondre à toute proposition de la Th. 2, certaines propositions de la Th. 1, que nous nommerons ses réduites, et qui auront la propriété d’être toutes équivalentes entre elles dans l’ancienne théorie. Nous dirons qu’une proposition est une réduite de P, sion peut la déduire de P par le procédé