Chapitre 4. S

que nous allons indiquer, ou si elle est équivalente dans la Th. 1 à une proposition ainsi déduite de P.

5.1. Nous définirons ces réduites par récurrence sur la construction de P, en nous plaçant dans la deuxième méthode du Chapitre 2, (Ch. 2, 6.2) et nous montrerons en même temps leur équivalence, la deuxième règle de généralisation étant modifiée comme il est dit au Chapitre 3 (1.4).

a) Une réduite d’une proposition-élément sera cette proposition-élément elle-même.

b) Si une réduite de P est p, une réduite de © P sera © p.

c) Si les réduites de P et Q sont respectivement p et à, une réduite de PvQ sera pv a.

Observons que, dans chacune de ces opérations, on obtient pour © P, ou pour PvQ, uniquement des réduites équivalentes entre elles, si l’on sait qu’il en est ainsi pour toutes les réduites de P et de Q.

5.11. Il nous faut maintenant définir une réduite de (4 x). «Pxÿy:1Y2...y, à partir d'une réduite de D xy;y:...y,..

Considérons pour cela une réduite de cette dernière, mise sous forme normale disjonctive. Nous allons remplacer chaque terme de disjonction de cette forme normale par un autre pour obtenir la réduite de la première.

Considérons donc un terme de cette disjonction, ainsi que les propositions simples qui contiennent x. Nous allons faire sur ce terme, les opérations qui, en algèbre ordinaire, correspondent à l'élimination de x dans un système d’égalités et d’inégalités.

a) Si x est de première ou de troisième espèce, on supprimera les propositions simples qui le contiennent; si toutefois, cette opération faite, il ne reste plus de propositions simples, on remplacera notre terme par 0O—0. Remarquons que cette opération revient à remplacer x par la valeur à laquelle il est égalé dans le terme considéré.

b) Si x est de deuxième espèce,

a) Ou bien il y aura une égalité telle que x —y dans le terme étudié; dans ce cas, on supprime cette égalité, et on remplace partout x par y. On a d’ailleurs vu qu'on pouvait supposer dans ce cas, que x n’était pas de deuxième espèce,

— 15 — Chapitre 4. 5.11.

8) Ou bien il n'y a pas d’égalités contenant x; dans ce cas, on supprime les inégalités contenant x et si, en faisant cela, il ne reste plus de propositions simples, on remplace le terme pan 0=—0.

7) Ou bien toutes les égalités contenant x sont de forme y—=x—+a où a est un chiffre différent de 0; dans ce cas, on considère une de celles de ces égalités ou a est le plus petit, soit y—x-+a; on supprime alors cette égalité du produit; puis on remplace les égalités de forme: z—x-}b parz—y+(b— a}; et les inégalités de forme: x + bou zLb+x—+c, par ya tb et ztatb—+y—+oc. On ajoute ensuite au produit toutes les inégalités: y +0, yÆ1, etc. jusqu'à y +a—1.

LeS définitions précédentes nous permettent de faire correspondre, à une proposition, des réduites. Pour montrer qu’elles sont toutes équivalentes entre elles, il nous reste à montrer que, une fois que l’on sait que toutes les réduites de Dxyiy:...y, le sont, il en est de même pour toutes les réduites que la définition précédente permet d'attribuer à (4 x).® x y: y»...y,; (nous supposons que x,Y:,ÿY»...y, sont les seules variables réelles).

5.2. Ceci résulte des propriétés suivantes: Soit © x y: Y»...y, une réduite de Dxy:y:...y,, et soit Wy;y:...y, une réduite de (4x).®xy:y:...y, déduite de la première par la définition précédente.

1% Si un système de chiffres, b,a;,a:,...,a,, mis à la place de x,Y1,y2...y, rend? xÿ:y...y, vrai), le système a;,.….,a, rend Vy;y»...y, vrai.

2. On peut indiquer un procédé permettant, étant donné un système de chiffres a, a», ...,a, rendant vrai Wyiy»...y, de trouver un chiffre b tel que le système de chiffres b,a;,a:...,a, rende $KY1Y2...Y, Vrai.

En effet, supposons que ba;...a, rende ®xy:...y, vrai; il rendra vrai un des termes de la disjonction qui forme ®xy:...y, (car s’il donnait à tous les termes la valeur logique faux, la disjonction serait fausse, d’après (2.1}). On voit immédiatement qu'il rendra vrai le terme correspondant de Wy;y:...y, (on considèrera, pour le vérifier, séparément chacun des cas a), b,)), be), b.)).

1) Nous dirons alors en abrégé que »le système b,a 4,5... ay rend

PKVie.Vn vrai.