Chapitre

Si, réciproquement, a a...a, rend Wyiÿ»...y, Vrai, il rend vrai un terme de la disjonction qui forme Wy;y:...y,; dans chacun des cas a), b,), be) le chiffre b se détermine aisément, soit par des égalités, soit par des inégalités; dans le cas b)), il faut retrancher à un des chiffres a; a,...a, un chiffre comme a, pour trouver b, ce qui est possible à cause des inégalités x +0, x+1,...x—+a—1, qui figurent dans ce terme.

5.21. Supposons alors que, de deux réduites équivalentes v, v de Dxy;y2...y,, on déduise par la définition précédente deux réduites W', et W, de (4x).®Dxy:...y,; si elles n'étaient pas équivalentes, on pourrait trouver des valeurs àa;,a:,...a, pour ÿ,ÿY2+..y, rendant l’une vraie, W', par exemple; et l’autre fausse (d’après 4.12); on en déduira un système ba; a:...a, rendant #, vraie, donc ®, vraie; donc a, a,...a, rendrait VW’, vrai; nous arrivons donc à une contradiction dans Th. 1 (impossible d’après (2)).

Nous avons donc réussi à faire correspondre à toute proposition des réduites qui ne comprennent pas de variables apparentes, et qui sont équivalentes entre elles.

5.31. Remarque 1: On définit les réduites de (x). ® xy:y2...y, comme étant les mêmes que celles de ©(4x)©®D xy,...y (d’après Ch. 2. (6.2)).

Si un système de chiffres, a;a>...a, mis à la place de Y1Y2...y, rend cette réduite fausse, on peut trouver b tel qu'un système ba;a:...a, de chiffres, mis à la place de xyiy»...y, rende fausses les réduites de D xyiy»...y,.

Car le système a;...a, rend vraies les réduites de (4x). D xy:...y,; donc, on peut trouver b tel que le système ba;...a, rende vraies les réduites de © ® xy,...y,, donc fausses celles de Dxy:...y,.

5.32. Remarque 2. Si une réduite de D xyz;...z, est PxYzi...z, une réduite Px,xfa;z1...z, est Ox,X-| Q,z1...2,. Nous montrons ceci par récurrence sur la construction de ®.

Si c'est vrai pour ®.et VW, c'est bien évidemment vrai pour > et pour y.

Montrons que si c'est vrai pour dxyz,...z, dont une réduite est ?xyz:...z, c'est encore vrai pour (4z,).® xyz1...2, dont une réduite est Wxyz,...z,; s'il n’en était pas ainsi, (4z1).D x,x + a,z1z:...z, aurait une réduite @x,z,...z, non équivalente à W'x,x + a,z,...z,; donc il y aurait un système de

— 71 — Chapitre 4. 5,32.

chiffres rendant l’une vraie et l’autre fausse. Supposons, pour fixer les idées, que ce soit V’ qui soit vrai; on peut alors trouver un autre chiffre pour z rendant, avec les chiffres précédents, + x, x a,z,.… 2: vrai; or, cest une réduite de ® x,x—a,z,.…., z, par hypothèse; donc le système de chiffres primitifs doit rendre vrai & XoZ2 eZ, d’où, une contradiction.

On raisonnerait de même dans l’autre cas.

5.33. Remarque 3. On constaterait de manière analogue que si une réduite de Dd'xy;y2...y, est ®xy:ÿ»2...y,, une réduite de Pay;y»...y, est ?ayiy:...y,, (a étant un chiffre).