Nous allons maintenant montrer que

Théorème. Quand une proposition est vraie dans Th. 2, ses réduites sont vraies dans Th. 1.

Il suffira de montrer qu’une seule des réduites est vraie. Nous allons démontrer cela par récurrence.

a) Les réduites des propositions primitives, sont ces propositions elles-mêmes; or, elles sont vraies dans Th. 1.

b) Soit yxy:...y, une réduite de Dxy:...p, Vyi.y, une réduite de (x). xy,...y. Supposons la première vraie dans Th. 1, et montrons que la deuxième est vraie; s’il n’en était pas ainsi, il y aurait des chiffres a; a>...a, qui, mis à la place des y, rendraient W faux; donc, on pourrait trouver un chiffre b tel que, en remplaçant xy,...y, par ba....a, les réduites de D xyp:...y, deviennent fausses (d’après 5.31), ce qui est impossible d’après 2.

c) Pour appliquer la deuxième règle de généralisation sous la forme du Ch. 3, 1.4 on remarque que les seuls individus dans la théorie actuellement considérée sont de la forme a, ou y +a, a étant un chiffre. Désignons cet individu par é.

Supposons vraies les réduites de ®fyz;z:...z,; montrons qu’une réduite de (4 x).® xyz1Z:...z, est vraie. Soit? x y 21.2, une réduite de dDxyz...y,:; ôn en déduit la réduite de (x). Pxyzi...2,.

Or, vtyz1...7, qui est, d’après (5.32) et (5.33) la réduite de Déyzi...z, est vraie; donc, tout système de chiffres mis à la place de y z,...z, rend vraie la réduite de (4 x).® xyz:...7, d'après (5.2)); donc, cette réduite est vraie, d’après (4.11).