Un critère de vérité

7. Nous avons donc trouvé un critère nécessaire pour la vérité d’une proposition dans Th. 2.

Ajoutons dans les axiomes de cette théorie la proposition:

x—=0.v.({y).x=y+i (1) qui signifie, au fond, qu'on peut toujours retrancher 1 d’un nombre différent de 0. La réduite de (4y).x—y-+-1 est x 0; donc la réduite du nouvel axiome est vraie, et la théorie reste non contradictoire. Appelons cette théorie: Théorie 3 (en abrégé Th. 3).

Th. 3 diffère de Th. 2; en effet, remplaçons, dans Th. 2, la fonction descriptive x—1 par x<+1-—+1; on voit que tout théorème de Th. 2, reste vrai dans Th. 2 (car les axiomes le restent) mais notre nouvel axiome devient faux (car on voit en y remplaçant x par 0 +1).

Nous allons démontrer que le critère trouvé est suffisant dans Th. 5.

7.1 Remarquons d’abord que dans la nouvelle théorie, les propositions telles que:

x—=0,v:x—=lv (y) x =y EI RA x=0.v.x=lv.x=1+<l.v.({y).x=y #11 et, en général. ; X=0.v.x—=1l.v....v.x—=a—1l.v.({y):x=yEa ()

(a étant un chiffre), sont vraies.

us 19 — Chapitre 4. 7.1.

Nous démontrerons ceci par récurrence sur la chiffre a. Appelons H le produit x+0.x+1..... x+a—1l et

supposons démontré:

F:A.).(y):x=y+a (3) (qui n’est autre chose que (2)). Or, on a:

ErxÆa.x=yta. y +0 (Ceci n’est autre que:

By br =y Far). x; qui résulte de 1.35); d’où, en tenant compte de (1) et d’une identité de première espèce:

Hixka.x=y+ta. ).({y).y=z+1.x=7y<+a

ix+a.x=y+ta. ).(4z).x—=z+ati comme on le déduit aisément de 1.35, et du Ch. 2 (3.2)). Donc:

-xæ+a:({y).x=y+a:D.({x).x=z+a+i (4) d’après la première règle de généralisation; (3) et (4) dornent, en vertu d’une identité de première espèce:

EH.xÆEa. D.(4z).x=z+a+1

ce qui constitue le résultat cherché.