Pour démontrer notre affirmation, il suffit de prouver

d’où:

le théorème suivant:

Théorème. Dans la nouvelle théorie, toute proposition est équivalente à chacune de ses réduites.

On démontre ceci par récurrence sur la construction de la proposition.

Si le théorème est vrai pour P et Q, il l’est évidemment pour © P et PvQ.

Supposons-le vrai pour ® xy:y»...y, et démontrons-le pour (Ax).Dxyiys...y, Soit Pxy:...y, une réduite de Dxy1...y,; supposons-la équivalente à ©; on en déduit (Ch. 2, 4.2) (A zx).pxyi...y..=.(4x).Dzxy...y,s donc les réduites de (Ax).zxyiys...y, et de (4x).Paxy:y:...y, sont les mêmes.

Pour en déduire la réduite de (4x).® xy,...y,, suivons la construction du $ 3; mettons ® sous forme normale disjonctive;

d’après l'identité aisée à démontrer: