Chapitre

+:(4x).Axvdxv...vA x.

=,(4 4x). Aix v. (4x): 44.v...v(4x) Anx il suffit de démontrer que si on a un produit Pxy,...y,, de la forme canonique de 3.13, le nouveau produit déduit par les opérations de 5.11 est équivalent à (4x).P xy:...y,.

Décomposons le produit P en deux autres, dont l’un est le produit des propositions simples contenant x; il devient: Qxy:1...y,.Ry:...y,; alors (4x).Pxy;...y, devient équivalent à (1x). Qxyi...y,:Ryi... pe

Reprenons les différents cas de 5.11.

a) Si x est de première espèce, Q est de forme x—a.

Si x est de troisième espèce, Q est de forme x—y—+a.

La proposition cherchée résulte alors de:

(x) == 7 (qui résulte de -.z—z (l’axiome 1 du $ 5) par la deuxième règle de générälisation).

b) Si x est de deuxième espèce, dans les cas «) et f) traités en 5.11, le résultat est évident. Reste le cas 7). Dans ce cas, après des transformations qui laissent P équivalent à luimême, Q prend la forme y—x—+a; a étant différent de O0 on le remplace par:

yÆE0.yEl....y+Æa—1.

pour obtenir la réduite.

Il faut montrer que:

Én(qa) pero Et EM y Rae Or ceci résulte de la formule (2) de 7.1, et de k.xbta—Æx0 -.x+ta.Æ.il ..... +-.x+a.—+.a—1 qui se démontrent immédiatement à partir de l’axiome 4 du 85, qui est: x--1—+0.

7.2. Ces raisonnements nous montrent donc que nous avons dans Th. 3, un critère nécessaire et suffisant pour la vérité d’une proposition.

Etant donnée une proposition sans variables réelles, il lui correspond une réduite sans variables, donc qui est vraie, ou dont la négation est vraie d’après 2.1. Donc, en résumé (avec les définitions de Ch. 3 (2.2)):

Dans la Théorie 3, il y a à la fois non-contradiction, complète détermination et résolubilité.

— 81 — Chapitre 4. 7.2,

Notre méthode nous donne un résultat supplémentaire : si

a) PE ip op et si @xy:...y, est la réduite de ®xy,...y, on peut calculer les x rendant vrai ®xy;...y, à partir de y:,y>...y.; il suffit de reprendre la construction de la réduite de (4 x). NA Viesih. pour voir que, selon qu’un système de chiffres mis à la place de yy2...y, rend vrai l’un ou l’autre des produits de propositions simples, dont la disionction constitue la réduite de (4 A} DE Vire. Y, et est par conséquent toujours vraie, on peut déterminer les chiffres qui, mis à la place de x, rendent vrai ®XY1Y»...y, (et cela par des opérations de forme suivante: prendre x égal à un chiffre donné; ou à un des chiffres mis à la place des y;,; ou à un de ces chiffres augmenté ou diminué d’un chiffre donné; ou bien prendre x différent de plusieurs de ces expressions).

Donc, dans la Théorie 3, on peut, en somme, construire les nombres dont on démontre l'existence.