L’axiome d’induction totale

8.1. Nous pouvons maintenant étudier les propositions obtenues en remplaçant, dans la suivante:

PO:(x).Px D)Dxtil: }). dy (1) x par n'importe quelle fonction propositionnelle déterminée (pouvant contenir d’autres variables que x). L'ensemble de ces propositions constitue ce qu’on appelle ordinairement: ,l’axiome d'induction totale”.

On remarquera que cette désignation est vicieuse, dans notre terminologie; carla proposition (1) symbolise une infinité d’axiomes. Ces propositions sont vraies; soit, en effet ® x une réduite de x. Si la proposition (1) n’était pas vraie, il y aurait des chiffres rendant sa réduite fausse; remplaçons les variables de © x autres que x par ces chiffres; x devient +’x; soit a le chiffre par lequel il faut remplacer y; on voit que y’ a serait faux, w’o vrai; et que les réduites de (x).%’x )w’x-}1 seraient vraies (d'après la Remarque (5.3) au lieu de prendre la réduite de (x).Dx )Dx-+1 et de remplacer les autres variables par des chiffres déterminés, on obtient le même résultat en remplaçant tout de suite ces variables par ces chiffres). Donc pour tout