Chapitre

notions , d'identité normale” et de ,,propriété 4”, les mêmes définitions ‘que ci-dessus, en les modifiant seulement par le fait que, dans une ‘identité normale, nous pourrons remplacer une variable restreinte, soit par une variable générale supérieure (ou fictive) comme précédemment, soit par une fonction descriptive de variables supérieures (ou fictives).

Les égalités entre ces variables et ces fonctions seront toujours dites les égalités associées (2.21).

Essayons de vérifier si une proposition P, supposée désormais de forme normale (Ch. 2, 3.1), est une identité normale. Considérons le type de P (1.11). Essayons donc de vérifier si c’est le type normal. Nous remplaçons pour cela chaque variable restreinte par une variable générale supérieure ou une variable réelle ou fictive, ou une fonction de telles variables. La proposition Il ainsi obtenue doit pouvoir être une identité de première espèce (pour une au moins des formes normales de P).

Dans ce cas, considérons tous les individus (variables ou fonctions descriptives) qui sont dans P arguments d’une fonction propositionnelle; dans Il, où l’on a effectué les égalités jassociées, certains de ces arguments deviennent identiques; (donc, toute proposition déduite de P en faisant d’autres égalités, et telle que les mêmes arguments soient identiques, est aussi une identité de première espèce). Il nous faut donc chercher les égalités d’arguments qui transforment P en une identité de première espèce; il yen a un nombre fini et déterminé. On cherche alors à fabriquer des égalités qui les engendrent, égalant des variables restreintes à des variables générales, réelles ou fictives, ou à des fonctions de telles variables (il ne restera alors plus qu’à voir, ce qui est immédiat, si ces égalités peuvent être considérées comme des égalités associées).

Pour y arriver, il suffit, pour chaque système d’égalités d'arguments, de procéder par récurrence en utilisant l’un ou l’autre des deux procédés suivants, qui simplifient le système d'égalités à satisfaire.

1% Si une des égalités à satisfaire égale une variable restreinte x à un autre individu; ou bien cet individu contient x, et on ne peut y satisfaire; ou bien il ne contient pas x; cette égalité sera alors une des égalités normales cherchées; et on remplacera x par cette fonction dans les autres égalités à satisfaire.

MR — Chapitre 5. 2.4.

2°. Si une des égalités à satisfaire égale une variable générale à un autre individu, qui ne soit pas une variable restreinte, il est impossible d'y satisfaire.

3. Si une des égalités à satisfaire égale f, (2: P2...0.) à fo (15 Da... D), ou bien les fonctions élémentaires f, et f, sont différentes, auquel cas il est impossible d'y satisfaire; ou bien les fonctions f, et f, sont les mêmes; auquel cas on remplace l'égalité par celles obtenues en égalant », à 4.

Au bout d’un nombre fini et déterminé d'opérations de ce genre, on arrivera donc à vérifier si une proposition est normale (ou donc si elle possède la-propriété À pour un schème associé donné).