Chapitre

la valeur de la fonction d'indice correspondante f(a;, a, ...a;),

les arguments a ,a,...a, étant les éléments par lesquels on LE) 2 n

a remplacé les variables restreintes dont les symboles sont situés à gauche du sien (ce sont, en effet, les variables supérieures à y dans la forme normale); on obtient ainsi la deuxième disjonction associée d’ordre p, qui doit être une identité pour que la proposition ait la propriété C.

3.5. Voici quelques remarques très importantes relatives aux propriétés B et C (les raisonnements sont les mêmes dans les deux cas):

3.51. 1% Le nombre des éléments du champ C; est indifférent (on le prendra donc en général égal 1).

a) On peut augmenter ce nombre.

Soient, en effet, les champs C;, C:,..., C,;5..., C\ ayant pour éléments a,a,...,a,; soient F,l,,...1, d’autres champs engendrés par les mêmes fonctions, l; ayant m éléments, a;,a:,...,a,: supposons mn. Les éléments des |’, seront désignés par les mêmes lettres que certains éléments des C;, de manière qu’une même fonction f(a; ar. a;) ait la même valeur dans les deux

cas. Alorsles termes de la première disjonction associée d’ordre p correspondant aux champs [', sont une partie des termes de la première disjonction associée d'ordre p correspondant aux champs C; donc, si la première est une identité, la dernière en est une autre (car —:4 ).AvB).

b) On peut diminuer ce nombre.

Reprenons les mêmes notations; on peut passer des C; aux |’, en égalant (3.11; 3.211) Ami Amy, à a par exemple. Remplaçons dans la première disjonction associée d'ordre p correspondant aux champs C, Ani1 Ami +5 AY Par 4; On voit immédiatement que tous ses termes demeurent des termes de la première disjonction associée d'ordre p correspondant aux champs l'et qu’on obtient tous ces termes. Donc, si la première est une identité, la deuxième en est une autre, comme on le voit d’après la remarque 3.31 du chapitre 1.

3.52. On peut supposer, sans modifier les propriétés B et C, que les champs que l'on fabrique pour exprimer que la proposition a la propriété B (ou C), sont engendrés non seulement par les fonctions sudites, mais aussi par d'autres fonctions (dites ,fonctions fictives“). On peut, en particulier, introduire

des variables réelles fictives (comme au Ch. 2, 1.21), qui donneront lieu alors à des constantes fictives (3.2).

Soient ®,(x: x... Xp) les nouvelles fonctions introduites, GA; 2,57, D, (x: x x,) les anciennes (j—1,2,..., 8); soient Ci, C:,...,C,,... des champs engendrés par les y, et les b, Egalons à un élément de C, tous les éléments qui sont valeurs de fonctions w, (a, CARTE pa) on obtient des champs C;,l,,1:,..., Les

engendrés par les fonctions D; en raisonnant comme ci-dessus en b), on voit que si la première disjonction associée d'ordre p obtenue avec Îles premiers champs est une identité, il en est de même de celle obtenue avec les seconds champs.

3.53. 3°. Si P et Q ont la propriété B, il en est de même de P.Q.

Fabriquons en effet les champs correspondant à la proposition P.Q, soient Ci Corse, Css La première disjonction d'ordre p associée à P est, dans ces champs, de forme:

PEAR

chaque P; résultant de la matrice de P par les opérations décrites en 3.4. C’est une identité d’après 3.52. Celle qui est associée à Q est de même, de la forme:

Qiv Qv...vQ,.

Or, on voit immédiatement que celle associée à P.Q contient tous les termes de forme P;.Q;; c'est une identité d’après Ch. 1, 5.34.

3.54. 4. Si une proposition a la propriété B (ou C) d'ordre p, elle l'a pour tout ordre supérieur q.

Désignons dans les deux cas par les mêmes lettres les éléments des champs C;,C:,...,C,... considérés en 3.4; alors les termes de la première disjonction associée d’ordre p sontune partie de ceux de la première disjonction associée d’ordre q; si donc, la première est une identité, la deuxième en est une autre (d’après l'identité -:4 ).4vB).

3.6. Prenons l'exemple suivant, pour la propriété C d'ordre 2:

(x) (ay) (2). P x, y, z, f (y, 2)]

f(y,z) étant une fonction descriptive élémentaire; cette proposition est de hauteur 1.