Chapitre
Il faut introduire deux fonctions d'indice: £,, sans arguments, pour x, et ®,(y) pour z::
Le champ C; sera composé de a.
Le champ C; de a quisera vw, a; » ») e (ai)
di .” », f(a; a) .
Le champ C:, de à, ag, a, qui seront: #, (a), #, (az) et #, (as),
as dy do quiseront: f(a a), f(as as), f (ai a) di1 A2 dis » » f(a: &@), f (a; as), f(a ai)
Tia di5 A6 » » f(a2 as), f (a ai); f (as ai)
Ne considérons de C, que a;; qui sera: f(as;a), ais qui sera fa a), et ais qui sera f(as a:).
Il faudra prendre pour y successivement à; a a; &.
La disjonction d'ordre 2 est P (a, a; ay 2) v P (as as as ao) v P (a as aç ar) v P (a a ax aie).
On voit en particulier que as @9 10 &i1 413 A1 ais die auront été inutiles.
Si les règles de passage permettent d’amener la proposition à la forme:
(x) (2) (4 y) © PC, Ps z, fe, 2)]
il faudra égaler a:, a;, aç et a.
4, Les champs infinis.
Introduisons maintenant la notion capitale de ,,champ infini”. 4.1. Soit un champ C;, composé des éléments a; a;...a,.
Supposons que l’on ait affaire à un certain nombre de fonctions descriptives, de fonctions d'indice et de fonctions propositionelles éléments; nous dirdns que l’on a un champ infini, si on a un moyen déterminé de faire correspondre à tout nombre p un
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champ C”, contenant C;, — un système de valeurs (3.11) des fonctions dans C’, tel que l’on puisse en déduire la valeur de toute fonction de hauteur égale ou inférieure à p à arguments pris dans C;, — et un système de valeurs logiques pour les propositions éléments considérées, quand leurs arguments sont remplacés par des éléments de C’. Ces fonctions, ces propositions, ces valeurs logiques, seront dites ,aftachées” au champ infini.
Il nous arrivera aussi de considérer des champs, où par exemple on n'ait pas de propositions, ou de valeurs logiques attachées; nous le signalerons toujours explicitement.
Il est bien évident qu'en général le nombre d'éléments de C’ croîtra avec p. |
Nous dirons que C’ est le champ d'ordre p dans le champ infini; C, est le champ d'ordre 0.
(On remarquera que cette définition diffère de la définition qu’on pourrait croire la plus naturelle seulement par le fait que, quand le nombre p augmente, le nouveau champ C’ et les nouvelles valeurs ne peuvent pas forcément être considérés comme un ,prolongement” des anciens; mais cependant, la connaissance de C’ et des valeurs pour un nombre p déterminé, entraîne celle d'un champ et de valeurs convenant pour tout nombre inférieur; seul donc, un ,principe de choix” pourrait conduire à prendre un système de valeurs fixe dans un champ infini).
Partons alors d’une proposition P de hauteur h, sans variables réelles.
À chaque variable restreinte y de P, nous faisons correspondre une fonction d'indice dont les arguments sont les variables générales dominant y. Considérons un champ infini pour lequel les fonctions attachées soient ces fonctions d'indice et les fonctions élémentaires de P, et les propositions attachées soient les propositions éléments figurant dans P; soit C; le champ d'ordre 0, D,, le champ d'ordre p. Nous remplaçons dans la matrice de P chaque variable restreinte de P par la fonction d'indice correspondante. On en déduit une proposition P’. En remplaçant les variables par des éléments de D,, on a une autre proposition; on essaie d'y remplacer toutes les fonctions qui y figurent par leur valeur, de manière à ce qu’il n’y ait plus de fonction: d’où une
proposition IT.
