Chapitre

(Ce n’est pas toujours possible; mais nous ne remplaçons les variables que par les systèmes d'éléments où c’est possible (il y en a toujours si p est supérieur à la hauteur de la proposition: il suffit de prendre les arguments dans C:)).

Nous disons que P est vrai dans le champ infini, si pour tout nombre p, on a un procédé permettant de vérifier que toutes ces propositions ont une valeur logique (Ch. 1, 4.1) (déduite de la valeur logique de leurs propositions-éléments dans le champ), qui est le vrai.

Partons encore de P; mais faisons correspondre cette fois à toute variable générale y, une fonction d'indice ayant comme arguments les variables restreintes dominant y. Fabriquons comme ci-dessus un champ infini, mais en remplaçant les anciennes fonctions d'indice par les nouvelles; remplaçons maintenant dans la matrice de P chaque variable générale par la fonction d'indice correspondante, et faisons les mêmes opérations que ci-dessus; si toutes les propositions ainsi obtenues ont la valeur logique »faux”, nous dirons que P est faux dans ce champ infini.

Il est absolument nécessaire de prendre de telles définitions, pour donner un sens précis aux mots: ,vrai dans un champ infini”, qui ont souvent été employés sans explication suffisante, et pour justifier une proposition à laquelle on fait souvent allusion, démontrée par Lô’wenheim!), sans bien remarquer que cette proposition n’a aucun sens précis sans définition préalable, et que la démonstration de Lôüwenheim est au surplus totalement insuffisante pour notre but (voir 6.4).

4.11. Remarquons tout de suite qu’il est évident que si P est vrai dans un champ infini, © P est faux; et que si P y est faux, > P y est vrai.

4,2, Pour éclaircir la notion de champ infini, faisons abstraction pour un moment des valeurs logiques associées; nous pouvons alors classer ainsi les éléments situés dans D,: prenons d’abord les éléments de C;; puis les éléments qui sont les valeurs de fonctions de hauteur 1 de ceux-là; ils forment un champ [l', (qui

peut avoir des éléments commun avec C;); puis les éléments qui

1) Über Môglichkeiten im Relativkalkul, Math. Annalen, tome 76. Voir aussi Skolem, Vidersk, Skriften Math. Naturw. Klasse, 1920, Kristiania.

— lil — Chapitre 5. 4.2.

sont les valeurs de fonctions de hauteur 2 à arguments pris dans Ci; ils forment l;; on forme ainsi C,,[,,1,,...1 ... On peut avoir un nombre de termes au moins égal ss cette suite peut être évidemment arrêtée à un champ entièrement compris dans les précédents !).

Or, reprenons les champs considérés en (3.21) pour la proposition P; si on prend comme premier champ C;, on voit que l’on peut considérer que l', résulte de C:, en égalant (voir les conventions de 3.211) certains éléments de C, et de C., ou des éléments de C; entre eux; et qu’en général, l’, résulte de C,; en égalant certains éléments de C, à d’autres éléments de CC, où C,.

En se rappelant le théorème de Ch. 1 (5.21), on déduit les deux résultats capitaux suivants:

4.21. 1° Une proposition fausse dans un champ ne peut avoir la propriété B.

2. Si une proposition n'a pas la propriété B, on peut construire un champ infini où elle est fausse.

Le premier résulte de ce que, dans Cis Core Chip on déduit immédiatement du champ infini, un système de valeurs logiques donnant la valeur logique ,faux” à la première disjonction associée d'ordre p (voir 3.4). Le deuxième résulte du fait que C, fournit précisément le champ d'ordre p dans le champ infini cherché et que les valeurs logiques donnant à cette disjonction la valeur logique ,faux”, (d'après Ch. 1, 5.21), fournissent précisement leus valeurs logiques attachées.

Nous dirons pour simplifier (le sens de la locution étant défini par les énoncés qui précédent):

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une proposition n'ait pas la propriété B, est qu'elle soit fausse dans un infini. |

4.3. Les considérations précédentes montrent que nous pouvons nous borner à la considération des champs infinis sui-

1) Il y aura peut-être des éléments de D, qui ne seront compris dans

aucun de ces champs; ces éléments ne joueront aucun rôle dans la suite.