Les propriétés B et C sont identiques

3. Une proposition de propriété B d'ordre p a la même propriété avec tout ordre supérieur (3.5).

Les lemmes 2 et 3, le lemme du paragraphe 3.3, les remarques de 5.2, démontrent la deuxième partie du Théorème fondamental.

Remarques 1. Les propriétés À, B et C sont donc équivalentes et peuvent être dites nécessaires et suffisantes pour la vérité d’une proposition; le théorème précédent nous montre

et

— 117 — Chapitre 5. 5.31.

alors que la démonstration de toute proposition vraie peut se ramener à une forme canonique, consistant à la déduire de son identité associée (2.3) (qui est la disjonction associée d'ordre p).

2. On montrerait sans peine que, si on emploie dans la démonstration d’une proposition la deuxième règle de généralisation n fois, pour des individus de hauteur h, h,...h la proposition obtenue a la propriété B d'un ordre au plus égal à ANRT

3. S'il y avait plusieurs types dans la proposition étudiée, il faudrait, dans chaque champ, distinguer des éléments des différents types (la valeur d’une fonction étant en particulier du type de cette fonction) et prendre garde de remplacer une variable uniquement par des éléments du même type; mais, à part cela, il n’y a rien de changé dans les considérations précédentes. (Il faudra considérer une fonction d'indice comme du même type que la variable à laquelle elle est attachée).