Chapitre

6.2. Les théorèmes énoncés en 5 et 4.21 permettent d’énoncer les résultats suivants:

Théorème 1. Si P est une identité, ©P ne peut être vraie dans un champ infini.

Théorème 2. Si P n'est pas une identité, on peut fabriquer un champ infini où © P est vrai.

Des résultats analogues ont déja été énoncés par Lôwenheim !) mais ses démonstrations nous paraissent tout-à-fait insuffisantes pour nos besoins. D'abord, il donne à la notion de »Vérité dans un champ infini”, un sens intuitif, ce qui fait que sa démonstration du théorème 2 n'’atteint pas la rigueur qui nous semble désirable (cette démonstration se trouve au fond dans les considérations du $ 4 et de 5.1). Mais ensuite, et ce reproche est le plus grave, il paraît, à cause même du sens intuitif qu'il donne à cette notion, considérer comme évident le théorème 1. (C’est tout-à-fait inadmissible, et une telle manière de voir nous conduirait par exemple, dans un cas particulier, à considérer comme évidente la non-contradiction de l’Arithmétique. C’est au contraire la démonstration de ce théorème (dont fait partie le lemme 3.3) qui nous a offert les plus grosses difficultés.

Nous pouvons dire que la démonstration de Lôwenheim était suffisante en Mathématiques; mais il nous a fallu, dans ce travail, la rendre ,métamathématique” (voir l'introduction), pour qu’elle nous soit de quelque utilité.

6.3. Les deux théorèmes que nous venons d’énoncer nous fournissent une méthode d'étude de l’,Entscheidungsproblem”; nous avons, en particulier, réussi à en déduire de nouvelles solutions de tous les cas particuliers déjà résolus, et même à les étendre légèrement *). Voici cependant un cas essentiellement différent de ceux déjà connus: celui des propositions dont la matrice est une disjonction de propositions-éléments, ou de négations de propositions-éléments (pouvant contenir des fonctions descriptives). Pour qu’une telle proposition soit une identité, il faut et il suffit qu’elle ait la propriété À, ce que l’on reconnaîtra facilement au moyen des remarques 2.34 et 2.4,

1) Über Môglichkeiten im Relativkalkül (Math. Annalen, T. 76, 1915). ?) Par exemple au cas d’une disjonction de propositions de forme (&x,-..x,) (4y)(2,2,...2,) 4x, Koeee Rp Zi Zoe 2pe

— 119 — Chapitre 5. 6.4.

6.4. Remarque 1. On reconnaît sans difficulté qu’une proposition vraie dans un champ fini (Ch. 2, 8.3) est aussi vraie dans un champ infini (qui est tel dans ce cas particulier, que ses champs d'ordre n ont un nombre borné d'éléments); alors le théorème du chapitre 2, $ 8, résulte immédiatement du théorème 1.

Remarque 2. La notion d’,Erfüllbarkeit” utilisée par Ackerman dans son mémoire déjà cité (Ch. 2, 9.3) ne nous paraît pas définie d’une manière suffisamment complète (on ne nous donne pas de moyen précis permettant d'affirmer qu’une proposition est ,erfüllbar”). Mais le théorème 1 permet immédiatement de lever cette objection. Soit, en effet, une proposition P de la forme (x1æ...x,) (42) (yiys...y,) Axixs..x zpiyr...p,. Si ce n'est pas une identité, on peut fabriquer un champ infini où © P est vrai; on voit immédiatement qu'il suffit de répéter le raisonnement d’Ackermann pour reconnaître qu'il y a aussi

un tel champ fini, et composé d’un nombre connu d'éléments.

Au contraire, si P est une identité, © P ne peut être vraie dans un tel champ fini (d’après Ch. 2, 8.1); nous avons donc un critère permettant de reconnaître si P est une identité ou non.

Il est d’ailleurs possible — et plus simple — de montrer, par un raisonnement analogue, que si une proposition P de la forme considérée a la propriété C, elle l’a avec un ordre que l’on peut sûrement fixer d'avance, ce qui fournit un critère équivalent.

Remarque 3. Si l’on ajoutait à nos règles de raisonnement énumérées au début du chapitre 2, d’autres règles qui ne se déduiraient pas de celles-lä, nous voyons que l’on serait conduit à considérer comme vraies des propositions fausses dans un champ infini; on reconnaitra que cette éventualité est difficilement admissible. Ce fait correspond à ce que les Ailemands appellent la , Vollständigkeit” de notre système de règles. (On verrait même aisément que si on pouvait démontrer que ces règles supplémentaires conduisent à considérer comme vraie une proposition P, qui sans cela ne l'est pas, on en déduirait la contradiction des mathématiques classiques, car on pourrait fabriquer un ensemble dénombrable pour les éléments duquel P serait faux).

Remarque 4. On peut considérer que le théorème du $ 5 nous donne une forme canonique pour toute démonstration