Chapitre

mathématique: en effet, la connaissance de l’ordre p avec lequel une proposition possède la propriété B suffit pour décrire la démonstration de cette proposition, d’après 5.1. On peut dire aussi d’une manière générale que si un théorème P est vrai dans une théorie à partir d’hypothèses (sans variables apparentes) dont le produit logique est H, la démonstration de P peut s’obtenir de la manière uniforme suivante (d’après 6.2 et Ch. 3, 2.4): on essaie de construire un champ infini où HP est faux, et on constate au bout d'un certain nombre d'opérations que c'est impossible. Cela nous conduit à dire que l’on peut toujours donner d’un théorème vrai une démonstration ne faisant appel à aucun artifice, le rôle de ceux-ci étant uniquement d’abréger les démonstrations.

B) Conséquences relatives à l'étude des théories mathématiques.

6.5. Les théorèmes obtenus dans les paragraphes précédents ont de nombreuses applications: ils fournissent une méthode générale pour l'étude des théories mathématiques. Nous allons indiquer rapidement quelques-unes de ces applications, en insistant sur la plus importante d’entre elles, qui est la non-contradiction de l’Arithmétique ordinaire.

1% Si toutes les bypothèses d'une théorie sont vraies dans un champ infini (4.31), cette théorie n'est pas contradictoire (Ch. 3, 2.1).

(Car si une théorie est contradictoire, on voit immédiatement que l’on peut trouver des hypothèses H,, H,...H supposées sans variables apparentes, telles que ©.H,.H,...H, soit une identité propositionnelle, donc ait la propriété B. Ce qui est impossible, d’après 4.11, puisque H;.H,....H, d’après 4.31 est vrai dans le champ infini, donc ©.H,.H,....H, faux).

2. Si une théorie n'est pas contradictoire et n'a qu'un nombre fini d'hypothèses *), on peut fabriquer un champ infini où ces bypothèses sont vraies *).

1) Il est aisé, mais inutile, de lever cette restriction.

2?) Cette proposition est l'aspect ,métamathématique” de celle connue sous le nom de ,paradoxe de Skolem”; on remarquera en effet que les raisonnements que nous faisons sur les champs infinis peuvent se traduire en Mathématiques par des raisonnements faits sur des ensembles dénombrables,

lt Chapitre 5. 6.5.

Il suffit, comme on le voit immédiatement d’après 4.3, de rendre vrai le produit logique de ces hypothèses dans un champ réduit (4.3).

Développons rapidement quelques conséquences immédiates.

Remarquons d’abord que s’il ya des constantes c’est à dire des fonctions descriptives à O0 argument dans une théorie, il faudra les représenter dans les champs infinis, pas certains éléments que l’on pourra mettre dans le champ d'ordre 1.

6.6. Les résultats énoncés en 6.5 peuvent servir à démontrer que certaines modifications apportées dans les théories ne permettent pas de démontrer de résultats nouveaux.

Supposons, par exemple, que nous ayons une théorie avec un certain nombre de types; nous pouvons introduire pour chaque type une nouvelle fonction propositionnelle ,,x — y” d'arguments x et y, que nous énoncerons ,,4 égale y”, dans laquelle x et y seront du type considéré (nous aurons donc différentes fonctions

propositionnelles représentées par des ensembles de signes qui

ne différeront que par le type des variables).

Nous ajoutons les hypothèses suivantes que nous désignerons par (1): SR: FRS y. Dpt NE ED, pour chaque type, ER no. Xi Yne D DXi Ro... x, DD YiYoc.Y,

pour chaque fonction propositionnelle élément ® x; x:...x,,

2 V, )of(arxs...x Je f(yiys y)

pour chaque fonction descriptive élémentaire f(x: x...2,).

On en déduit bien aisément que les deux dernières propositions sont vraies pour toute fonction.

Supposons que ces hypothèses, unies aux anciennes, entrainent la vérité de la proposition P, qui ne contient pas la nouvelle fonction propositionnelle, et n'était pas vraie avant son introduction. Soient H;, H:,...,H, les hypothèses de la théorie primitive, nécessaires dans la démonstration de P; les hypothèses H:,H:,..., H,<P qui n'étaient pas contradictoires, le deviennent donc après adjonction des hypothèses (1). Or, on peut fabriquer un champ infini où H,H,,...,H, P sont vraies; pour rendre les hypothèses (1) vraies dans ce champ infini, il suffit