IR, PR PR

Revenons au cas où l’on introduit l'égalité, et demandonsnous comment on pourra déduire la démonstration de P dans le cas où l’on n'utilise pas l'égalité. Supposons que la proposition

HSE TOP E H étant le produit des hypothèses (1) employées, ait la propriété B d'ordre p. Il suffit de se reporter à la démonstration des résultats antérieurs de 4.21 et 4.3 invoqués dans le texte, pour conclure que E.H:....H. DP a la propriété B d'ordre p; d’où une démonstration de P.

6.7. Le résultat de L’wenheim (loco citato), d’après lequel on pouvait ramener la résolution de ,, l’Entscheidungsproblem” au cas où toutes les fonctions propositionnelles n’ont que deux variables, et dont la démonstration, s’appuyait sur ses résultats insuffisamment démontrés, est maintenant complètement justifié; on peut même aller plus loin, et démontrer:

a) qu’on peut se ramener au cas où il n’y a plus ni fonctions descriptives, ni constantes.

On utilise au fond pour ce faire, la théorie de la description de Russell et Whitehead; il suffirait d'introduire |l’égalité comme en 6.6, en même temps qu'on remplacerait chaque fonction descriptive f(x;, x... x,) (une constante étant une fonction à 0 argument) par une fonction propositionnelle ® y x, x... x, (qui signifierait au fond y—f(x, x:...x,)) et qu'on introduirait les hypothèses: (4 z) (y): y x re NZ:

1) et de la géométrie euclidienne, dans l’axiomatisation d’Hilbert, sans , Vollständigkeitsaxiom”.

— 123 — Chapitre 5. 6.7.

b) puis au cas où il n'y a plus qu’une fonction propositionnelle à trois arguments, ou trois fonctions propositionnelles à deux arguments.

c) On démontrerait aisément que l’on peut ne plus se servir de variables apparentes, si on introduit avec Hilbert la fonction logique” (chaque proposition donnera lieu à une telle fonction ayant pour arguments les variables réelles, et à un axiome correspondant; voir le mémoire de Hilbert de 1928). On peut en particulier toujours supposer que les hypothèses d’une théorie ne contiennent que des variables réelles.