Non contradiction de l'Arithmétique

Les résultats de 6.5 nôus permettent de résoudre le problème de la non-contradiction de l’Arithmétique beaucoup plus complètement que nous ne l'avons fait au Chapitre 4.

Rappelons qu’en Arithmétique, il n’y a qu’une fonction propositionnelle élément x—y, qu'une fonction descriptive fondamentale x +1, ainsi qu’une constante fondamentale 0; on peut de plus y introduire d’autres fonctions descriptives que l’on définira par récurrence (Ch. 4, 8.5).

Doittalorss la suite de lettres :# 7, a; a...a.:... que nous considérerons comme indéfinie et que nous appellerons le champ À; nous conviendrons que a, n’est autre que la constante 0. Nous formerons les champs dont nous aurons besoin avec ces lettres; nous conviendrons que a,—a; n'a la valeur logique »vrai” que si les indices i et j sont identiques.

Supposons que nous ayons une fonction (descriptive ou d'indice) f(x; x...x,); nous dirons que nous connaissons sa valeur dans le champ À, si nous avons un procédé permettant d'attribuer une valeur à f(a;, dr. a;) pour tout système d’arguments pris dans le champ.

Une proposition P sera dite vraie dans le champ À, si en faisant correspondre à toute variable restreinte de P une fonction d'indice des variables générales supérieures et des variables réelles, nous pouvons donner à ces fonctions des valeurs dans le champ À telles que la proposition obtenue en remplaçant les variables restreintes de P par leurs fonctions d'indice, ait la valeur logique (calculée comme en 4.1) ,vrai”, de quelque manière que l’on remplace les variables générales par des éléments du