I. — Surfaces n'admettant pas de plan directeur tangent

au cercle de l'infini.

2. Leur élément linéaire peut toujours être mis sous la forme

en désignant par a et /r deux fonctions de la seule variable p. La fonction A* est essentiellement différente de zéro dans les surfaces gauches : c'est le paramètre de distribution. Nous supposons en outre que les deux dérivées a' et k' ne sont pas nulles à la fois; car alors on aurait des surfaces réglées applicables sur la surface de révolution qui a reçu le nom à^alysséide.

Nous allons déterminer a et /f de manière que l'équation aux géodésiques admette une intégrale quadratique. Pour cela, il faut et il suffit (Chap. J, n** 3) qu'on puisse trouver trois fonctions, l'une [jl dépendant de u et de p, les deux autres A et W dépendant seulement de p et qui vérifient les deux

(*) [L. Raffy, Détermination des surfaces harmoniques réglées {Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. CX, p. 223; 1890)].

l4 L. RAFFY.

équations

G âi^

Grâce à la forme particulière de la fonction G, on peut, sans connaître a et /f, eflFectuer la quadrature

/du r du I // --

Par suite, l'équation (i) devient

et donne une première expression de la dérivée [jl*^,

àll^-k'^^f. N^w . A'

A'-H 2(w — a) ( W -+- -T- arc lang — -r — )

duôi> D'autre part, l'équation (2) devient

^ ^ du\G du)

= 3 A ;^ TT -^ 2 ,t , ..-.^ W -f- -7: arc tang —r —

^' / ,, . .A W'-h ^ arc tang— 7 -r -r ^ — tt" h

en désignant par des accents les dérivées prises par rapport a v. Intégrons par rapport à «, ce qui introduit une nouvelle fonction arbitraire V de p; nous aurons, en séparant les termes de forme différente,

i du. -r 3 A aW ^ u — a

^.iWkk'-A'a')J\j^

arctang— jp- ^, / (m — «) arclang— ^^^

QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES HARMONIQUES. l5

Les quadratures indiquées peuvent s'effectuer et l'on trouve, tous calculs faits, après avoir multiplié par G,

——(a — a)arclang — j h N[(w — a)*-i- A:*] arctang — j- —

M[(i/ — a)*-i- A:'] f arctang — r — j

en posant pour abréger

,, 2W' iWkk'—3K'<x' ^, 2 VA- — A'A-'

3. 11 faut maintenant identifier la dérivée de [jl^ prise par rapport à ç avec l'expression (3).

A cet effet, remarquons que la dérivée prise par rapport à p du second membre de l'équation (4) contient le terme

V 2(x' k' (u - (x) -\- k((x'^— k'*-) 'k {u — (xy-hk' '

qui n'a pas d'analogue dans la formule (3). Il faut donc que l'on ait, quel

que soit w,

A'[2a'^'( £/ — a) -h k{oL'*— k'^)\ = o.

Or, pour que la fonction linéaire de u qui multiplie A' fût identiquement

nulle, il faudrait

hypothèse exclue. Il reste donc A'=o, c'est-à-dire que A est une constante. L'équation (3) se réduit alors à

Mais on a vu (Chap. I, n"4) que, quand la fonction A est constante, on peut la supposer nulle. Dans la relation (4), faisons donc A = o; il reste

ou k ^

-^ T^ [(«-«)'■+- A:» ] arc lang -^— •

l6 L. RAFFY.

La différentialion par rapport à p donne, entre autres, un terme en arc tang — r — > qui a pour coefficient

et qui doit disparaître, puisqu'il n'existe pas dans la formule (3'). En conséquence, l'expression

doit être une fonction de «seulement, ce qui ne peut avoir lieu, en dehors de l'hypothèse exclue 7/ z= k'= o, que si l'on suppose

On tire de là, en désignant par h une constante arbitraire. L'équation (4') se simplifie encore

(4'') ^=:V^«^-^' + ^(^/-«)-hV(«-a)^

au yjk k\fk

On voit que V doit être une constante pour que la dérivée ^]^^ no contienne pas de terme en {u — a)^. Effectuons maintenant la différentiation par rapport à p du second membre de Téquation (4")? le résultat doit être,

en vertu des relations (3') et (5), identique à ih{u — CL)\\lk, On doit donc avoir identiquement

V/A- V \P^) V \f^'\/^'J J ' ks/k

d'où résultent les deux équations

^ ^\k\/kj >Jk

Il faut, puisque a' est multiplié par V dans la seconde, distinguer deux cas, suivant que V est différent de zéro ou égal à zéro.

4. Premier cas, — Supposons d'abord la constante V différente de zéro. De l'équation (7) on tire

cl, substituant dans la précédente, on trouve

Telle est l'équation du troisième ordre qui détermine le paramètre de distribution k.

Nous allons l'intégrer. Remarquons, au préalable, que la constante h n'est pas nulle. Car si elle l'était, les équations (6) et (7) entraîneraient a'= A*'= o, contrairement à nos hypothèses. Nous pouvons donc désigner par gh^ ; 2 V la constante qui s'introduit quand on intègre les trois termes de l'équation (9). Il vient alors

ce qui est une équation du second ordre. Pour la simplifier, nous poserons

ce qui donne, après quelques réductions,

Multiplions par la dérivée p' et intégrons; soit m la constante arbitraire; nous aurons

-^p'-î^^p'-H/'ip-a/i^pp'^zzip^^j ,

d'où l'on déduit

pdp

(11) di>

)J — 4p* — ^^p^H- mp' — 2/ip

Telle est la quadrature elliptique dont dépendent p et, par suite, son inverse k,

l8 L. RAFFY.

Quant à la fonction a, on peut aussi l'exprimer en fonction de p en intégrant l'équation (8). On trouve ainsi

(12) V' 2 // a nr — *- ^^-^ 2 / -

2g'p^-+- mp — in

On connaît donc les deux fonctions cherchées a et X: de la variable c\ Si Ton se rappelle que l'angle o) sous lequel la ligne de striction coupe les génératrices d'une surface réglée est donné par la formule

k COtûl) ZZLOt! Z=l -r-y

on voit que la relation (8) donne

ico,. = -*(^,-^M)

L'équation (11) permet de calculer explicitement le second membre; on trouve ainsi, en remplaçant p en fonction de h^

(i3) colw=: ^ (m — (\nk),

isjin

Cette formule nous servira bientôt, ainsi que la formule (11), à établir que les surfaces réglées qui viennent d'être trouvées sont applicables sur rhyperboloïde.

5. Second cas. — Nous supposons maintenant V = o. Si l'on fait, en outre, h — o, il est clair qu'on vérifie les équations (G) et (7 ); mais alors les formules (3') et (4") donnent

^=z^ =0 du àv '

et nous avons vu (Chap. I, n'*4) que, quand A et pi se réduisent à des constantes, l'intégrale quadratique disparaît. Il faut donc supposer h ^ o, et, supprimant ce facteur, on a

La seconde de ces équations n'est autre que

(v/aO ^ V'A-

On peut, sans restreindre la généralité, prendre pour son intégrale

au lieu de p sin(p — Po)> en désignant par p une constante arbitraire. On a donc

p'sin'f' D'autre part, l'équation (6') donne, avec une nouvelle constante y,

(i5) ^"'^^' a'^^yksfk,

d'où, en ayant égard à la formule {i[\),

a^y l /^^kdv—^^ f -r-^- = -^ ( log lang :-^ ) -+- const.

Ainsi se trouvent complètement déterminées les deux fonctions a et A* dans l'hypothèse V = o. Il suit de la relation ( 1 5-) et de la formule rappelée plus haut que la ligne de striction coupe les génératrices sous un angle o) tel que

(i6) cotco = y v/Â=: 3— ? — .

^ ' '^ p sin i>

6. Pour être en droit d'affirmer que les éléments linéaires trouvés dans les deux cas V r^^ o et V = o conviennent bien à des surfaces harmoniques, il faudrait calculer les coefficients de l'intégrale quadratique et discuter les deux cas d'exception prévus par la règle posée au début de ce travail. Mais nous allons montrer directement que ces deux éléments linéaires appartiennent à des quadriques, ce qui lèvera toute difficulté.

Commençons par le dernier, celui que déterminent les formules (i4) et (i5). Je dis qu'il existe un paraboloïde admettant cet élément linéaire. En effet, si dans la formule

20 L. RAFFY.

on introduit la variable

qui représente la dislance du point (a, r) au point central, il vient

(17) ds''—{dl 4- ^a)»-+- (/* -+- /•*) dv^— dn-\- 2cx.'dldi> -+-(/*-+- k^-^ot!^) d^K

Dans le cas présent nous avons de sorte que notre élément linéaire peut s'écrire

(18) ds^-= dl^-^ ^^^U^ ' 4 — C^) d^>\

p' suî't' \ p^sin*^' p®sin'(v

Or, si Ton considère la surface dont les coordonnées rectangulaires ont pour expressions

/ = / sin ç' — ~ cotr, c=^cotr,

on trouve aisément que son élément linéaire est représenté par la formule (18). D'autre part, Télimination des deux paramètres / et p se fait immédiatement et donne

ce qui est l'équation d'un paraboloïde. Par là il est démontré tout à la fois que l'élément linéaire obtenu dans l'hypothèse V = o est harmonique et qu'il ne convient qu'à des surfaces applicables sur des paraboloïdes. Cet élément linéaire est le suivant

t/5* = du^ -h [( a — a)' -4- A-*] dv\

k=^ -Frr^—7-y «== «i logtang r—r- •

p*sm*r 2p'\ ° °2 ^lïi^vj

7. Revenons maintenant à l'élément linéaire trouvé en premier lieu,

dans IMiypothèse V :^ o, et que nous mettons sous la forme en posant, conformément aux équations (i3) et (i i),

/ X , r7i , m — (\nk

(19) 4i/-a'zz: ^ ,

f dk\^

(20) { T~ ) =^ ^"(— 4 — 2^/rH- mA-*— 2/2A-3).

Nous allons prouver que, quelles que soient les constantes g^ m et /^, on peut toujours trouver un hyperboloïde admettant cet élément linéaire. A cet effet, nous donnerons, mais sans les démontrer, certaines formules dont on ne saurait se passer quand on veut étudier Thyperboloïde au point de vue de la théorie des surfaces réglées.

Soit, en coordonnées rectangulaires, l'équation

On peut évidemment poser

au . bu , , eu

a? — — ^cos9 — asincp, j 1= — ;- sm <p 4- 1> cos cp, -3 ===-;-,

en faisant, pour abréger.

Avec ces notations, on trouve, pour le paramètre de distribution,

k—— ^^^', P = a'6*-f- 6»c«-f- c'«»-t- c^- c«/% et pour l'élément linéaire

On en conclut que la valeur de m, qui correspond au point centrai, est

a z= i — g r sm 9 COS9,

2 2 L. RAFFY.

et, si Ton introduit la distance l=z u -— a comptée à partir de ce point, Félément linéaire devient

Taccent désignant une dérivée prise par rapport à ç. Or, si l'on compare avec la formule générale

on obtient les deux relations

, r^dv dru == — ,- 1

\r^—c^ ,, - ,,, /rsino? coso\n .

d'où l'on déduit

dv) ~ 1^ \d^) '

8. Pour former la première de ces équations, il suffit de différcntier par

rapport à ç l'expression donnée plus haut

— abcr^

et de réintroduire partout k à la place de ç. On trouve ainsi

(dk\^ /i A-'

Tr) = -^Ti^iak -^ bc)(bk ^ac){cA-ab).

De même, en effectuant les calculs dont dépend l'expression explicite de a' et tenant compte de la valeur de /r, on élimine ç et l'on trouve

^ V^- abck \ cibc )

Pour établir la proposition annoncée, il n'y a plus qu'à montrer qu'on peut identifier à la fois les formules (20) et (20') d'une part, ainsi que les

formules (19) et (19') d'autre part. La comparaison des deux premières donne

et Ton vérifie aisément que ces trois relations entraînent l'identité des formules (19) et (19'). En conséquence, on voit que l'élément linéaire obtenu dans l'hypothèse Y z^ o convient à l'hyperboloïde dont les demi-axes sont a, by c quand on prend pour a^, b^ et — c^ les racines de l'équation

t^-iKt^^.'''

Notre théorème est donc démontré en ce qui concerne les surfaces réglées sans plan directeur tangent au cercle de l'infini.