II. — Surfaces admettant un plan directeur tangent
au cercle de l'infini.
9. Leur élément linéaire peut toujours être mis sous la forme
ds^ = du^ H~ (/> w 4- 7 ) dv'^
où p el q désignent deux fonctions de la seule variable v. Or la fonction p n'est pas nulle, sans quoi la surface serait développable. Nous pouvons donc faire /> = i . Enfin posons q ^ — ol et remarquons que la dérivée a' n'est pas nulle; car si a était une constante, on aurait l'élément linéaire d'une surface de révolution. Soit donc désormais
Nous aurons, en conservant toujours les mêmes notations, Or l'intégration donne
rdu r du . . .
24 L. RAFFY.
en sorte qu'il vient d'après Tcquation (i)
^r=(./-a)[W + A'log(^-a)], On déduit de là une première expression de [jl^^.
au ai'
/Vlog(«-a)-hA'H-\V.
Calculons maintenant le second membre de l'équation (2); il vient
// — a (il — a)^ u — ot (a — a)-
Multiplions chaque terme par du et intégrons en faisant usage de la formule
-jL-dt^--{\ost-hi);
soit V la fonction de p qui s'introduit comme constante arbitraire. L'équation (2) ainsi intégrée nous donne
-^ - 3 A + Y{u - a) 4- (W 4- 3 A')a' ou
-+-A'a'log(^/ -a)-+-2W'(M — a) log(// -«)-{- A"( // — «)[ log(i/ — a)]«.
10. Si nous différentions par rapport à p, nous trouverons entre autres le terme — A'a'^ : (w — a) qui n'a pas d'analogue dans l'expression précédemment trouvée pour [x*^. En conséquence, comme a' est supposé différent de zéro, la dérivée A' doit être nulle, c'est-à-dire que A est une constante.
Cette constante peut être supposée nulle (Chap. I, n°4, Rem. 7). Alors la valeur de [x^ se simplifie
^ = V(w — a) -h Wa'-h 2\\'{u -a)log(« — a),
ainsi que celle de [x^^, qui se réduit à W. Comme elle ne contient pas de terme logarithmique, il faut égaler à zéro le coefficient du terme en log(;/ — a), trouvé en différentiant [x^^ par rapport à ç. On a donc, quel
QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES HARMONIQUES. nS
que soit u,
c'est-à dire que le binôme Ww — W'a ne dépend pas de p. Comme a ne peut pas être supposé constant, on conclut de là que W' est nuL Donc W est une constante. Il vient alors, en comparant les deux expressions de [jlJ^^,
l'identité
Wa"- \oc'-h\'(u - a) = W;
d'où l'on déduit
V = consl., . Wa^-Va'^W.
La constante W ne peut être nulle, sans quoi V serait nulle aussi; les deux dérivées [x^ et [x^ s'évanouiraient; l'intégrale quadratique disparaîtrait (Chap. I, n°4, /îe/n. II).
11. Par contre, la constante V peut être nulle. D'où deux cas à distinguer.
Supposons d'abord V :^ o et soit V = W : a. Nous avons, pour déterminer a, l'équation
qui donne, en désignant par Pq et b deux constantes arbitraires,
a =z— a{v — ç'o) — a' 4- be^.
On aura donc, en faisant rentrer dans u la constante a(i^\ -f- a), cet élément linéaire
Remarquons que la constante b n'est pas nulle, sans quoi nous aurions l'élément linéaire d'un paraboloïde de révolution. Nous pouvons donc faire
le changement de variables
if
u-hav — a'=r a(p H- p,), w-hat^ — be'*=i — pp^y
qui serait impossible si b était nul. Effectuant les calculs, on trouve aisément
^ '^ L(p + «) (pi + «)'J
26 L. RAFFY.
ce qui est une forme dégénérée de l'élément linéaire des quadriques rapportées à leurs lignes de courbure.
Supposons maintenant V = o; il vient a"= i, ce qui permet, sans restreindre la généralité, de prendre 2a = p^, de sorte que l'élément linéaire est, dans ce cas particulier,
(22) ds*=du^~^ (u Wp*.
Il suffit de faire le changement de variables
pour trouver par un calcul facile
(22') ds^= ip — pi)(p ^p^— pi dp]),
ce qui est encore une forme dégénérée de l'élément linéaire des quadriques. Notre théorème est donc entièrement démontré. Des quatre formes que nous avons trouvées pour l'élément linéaire des surfaces réglées harmoniques, la première convient toujours à un hyperboloïde, les trois dernières appartiennent toujours à des paraboloïdes ; mais, pour les éléments linéaires (21) et (22), le paraboloïde ne peut être réel, puisqu'il admet un plan directeur, et un seul, tangent au cercle de l'infini.
Remarque. — L'analyse par laquelle nous avons obtenu tous les éléments linéaires des surfaces réglées harmoniques montre que l'intégrale quadratique de l'équation aux géodésiques est, pour ces surfaces, unique et parfaitement déterminée. Il suit de là que ces éléments linéaires ne sont réductibles que d^une seule manière à la forme harmonique. Nous avons donc démontré que toutes les quadriques sont simplement harmoniques, abstraction faite bien entendu de la sphère, que nous avons écartée dès le début.
