LES CERCLES GÉODÉSIQUES ET LES SURFACES HARMONIQUES

1. Les surfaces applicables sur les surfaces de révolution sont les seules, à ma connaissance du moins, dont on ait déterminé complètement les cercles géodésiques. M. Darboux (*), après avoir étendu aux cercles géodésiques la méthode de recherche des lignes géodésiques qui procède du théorème de Jacobi, a déterminé par deux quadratures les cercles géodésiques des surfaces de révolution. Nous nous proposons d'étudier ici les intégrales linéaires et quadratiques de l'équation aux cercles géodésiques. A cet effet, nous rappellerons la règle posée par M. Darboux.

Pour chercher sur les surfaces d'élément linéaire

les courbes dont la courbure géodésique est donnée et égale à k, on détermine deux fonctions M e/ N, assujetties à V unique condition

ox ôy et Von forme V équation aux dérivées partielles

Si l'on en peut trouver une intégrale 6 qui dépende, ainsi que l'une au moins de ses dérivées p et q, d'une constante arbitraire a, l'équation finie des courbes cherchées s'obtient en égalant à une nouvelle constante arbitraire la dérivée de G par rapport à a.

On est donc conduit à chercher s'il existe des intégrales

(ï) Leçons sur la théorie des surfaces, t. III; Livre IV, Chap. VII.

compatibles avec V = i , c'est-à-dire telles que le crochet

*■ ' ■' dx dp ày dq dp dx dq ôy

soit nul en vertu de la seule hypothèse V — i = o. C'est faire, pour les cercles géodésiques, ce que M. Massieu a fait pour les lignes géodésiques. Mais ici l'expression V n'étant pas homogène en p et y, on ne peut plus, comme dans le problème de M. Massieu, supposer homogènes les intégrales I, ce qui simplifiait considérablement les calculs,