I. — Intégrales linéaires

2. Du résultat obtenu par M. Darboux on déduit aisément que, pour les surfaces applicables sur les surfaces de révolution, l'équation aux cercles

géodésiques

admet l'intégrale linéaire

1=1 p — q z= consi.

Nous allons voir que la réciproque de cette proposition est vraie. Supposons, en effet, que l'équation aux cercles géodésiques admette une intégrale linéaire

1 = Xp-h Bq -\- C = consl.,

OÙ A, B et G sont des fonctions encore inconnues de x et y. Écrivons que le crochet [V, I] est nul en vertu de V — i = o. Comme c'est une fonction quadratique de p et de g, on devra avoir, quels que soient p et q^

[V,I]z:zp(V-l),

en désignant par p une fonction convenablement choisie de x et y. Le calcul effectué conduit à l'identité

On voit que le premier membre ne doit contenir ni terme en p^ ni terme

en q^. Donc on a

B-y=zo, A^.= o.

D'après cela, on peut, sans restreindre la généralité, prendre

B=:l, A=il.

On n'exclut ainsi que l'hypothèse où l'une des fonctions A et B serait nulle. Or, en supposant, par exemple, B = o avec A = i, on est conduit aux relations d'identification

d'où l'on conclut X^ = o. Les surfaces correspondantes sont développables. Soit donc désormais A= B = ï. La comparaison des termes en pq dans les deux membres donne

et l'identité à vérifier se réduit à

d'où les trois relations

(3) C;=M;+M;., C;=N;-hN;., Xi+X;=(MN)^+(MN);,-(NC;-^MC;).

Or, en vertu des deux premières, la dernière devient X^4- X^= o. Il en résulte que X est une fonction de a? — jy^ seulement; d'où la conclusion annoncée :

Les seules surfaces pour lesquelles V équation aux cercles géodésiques admette une intégrale linéaire sont les surfaces applicables sur les surfaces de résolution.

M. Massieu a démontré la même propriété relativement aux lignes géodésiques. On voit que son théorème peut être généralisé et étendu aux cercles géodésiques.

3. Pour compléter la solution de notre problème, nous avons à écrire la

condition

dC'je dCy

ày dx

3o L. RAFFY.

qui nous donne celte relation entre M et N

Rappelons-nous, d'autre part, que M et N vérifient aussi Téquation (5) n;,— M;i=2tA:X (k = consU).

Mais, X étant une fonction de a? — y, les deux dérivées X^ et X^. sont égales et de signes contraires, ce qui entraîne Téquation (4). La relation (5) est donc la seule qui régisse les fonctions M et N. Donc il y a une infinité de manières d'écrire l'équation aux cercles géodésiques, à chacune desquelles correspond une intégrale linéaire. Il va sans dire que, dans tous les cas, on trouve la même équation finie pour ces courbes. En vue de l'obtenir, posons

de manière à vérifier l'équation (5), quelle que soit la fonction arbitraire [x^^.. De là nous déduisons

N=i ^''t /(^ — j)-+-fx;, M = ik f{x — y) -h ij.'^,

K,= - ikf(x - 7) + fx;., M',= îkf{x - j') -^ II.:..

Portons les valeurs de M^, M^, N^, N^ dans les deux premières équations (3). Il vient

d'où, en intégrant,

L'intégrale linéaire est donc entièrement déterminée

I = /> -+- 7 -+- fx^ -+- fx'^ == const . 1= 2 a. Rapprochons- en l'équation V = i. Nous obtenons le système

(p -^ik/-^ ix'^){g -i- ik/ ^ ^'^) =f,

QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES HARMONIQUES. 3l

dont la résolution donne

df) ,

En conséquence, la fonction 6 est déterminée par une seule quadrature

'=a{x-¥ y)'-[i-\- js/[a^ikf{x^y)y--f'(X'- y)d{x- y).

et l'équation finie des cercles géodésiques est la suivante :

àa -^ J ^[a-^ikf{x^y)-Y-f{x-y)

La fonction X ayant été donnée sous la forme/' (x — y)^ la solution du problème dépend bien de deux quadratures, conformément au résultat de M. Darboux.