II. — Intégrales quadratiques
4. Nous allons rechercher maintenant dans quels cas l'équation aux
cercles géodésiques
admet une intégrale quadratique
I^ A/?'-+- 2B/?^-4- C^'-+- 2a/? -h 2^7 -4- 2C = consl. On sait que l'équation aux lignes géodésiques
admet une intégrale quadratique
A/?* 4- 2B/>^4- C^'=const.
dans deux cas et deux seulement : i° quand l'élément linéaire \dxdy est de la forme
ds^iz^ \x 4- tî (7)] dx dyy
32 L. RAFFY.
la fonction v](y) étant arbitraire, auquel cas il ne convient généralement qu'à des surfaces imaginaires ; a° quand l'élément linéaire \dxdy est de la forme
ds^=i [9(^+7) — /(^ — /)] dxdy,
quelles que soient les fonctions ç et/, résultat capital dû à M. Massieu.
Dans le problème relatif aux cercles géodésiques, nous retrouverons les deux mêmes formes d'élément linéaire, mais plus déterminées, car elles ne dépendront que de constantes et non plus de fonctions arbitraires. En effet, l'existence d'une intégrale quadratique pour l'équation aux cercles géodésiques impose à l'élément linéaire des conditions plus restrictives que l'existence d'une intégrale quadratique pour l'équation aux lignes géodésiques, ce fait analytique étant supposé se produire pour une valeur constante quelconque de la courbure géodésique ^, au lieu de la seule valeur A* = o.
Nous avons à exprimer que le crochet
rv ii=z— ^~ — ^+^^-^^ ^ * ^~ dx dp dp dx dy ôq dq dy
est nul en vertu de V — i = o, ou qu'il est identique à
a, p et Y étant des fonctions convenables de x et^.
Remarquons d'abord que l'équation V = i permet d'exprimer le produit pq par une fonction linéaire de p et de y, en sorte que, dans l'intégrale I, nous pouvons supposer B = o. Le calcul du crochet [V, I] s'effectue aisément et nous arrivons à l'identité suivante :
'i{kp^a)\(^(^p-^'^\){q-^'^)-r^
On voit que le premier membre ne doit contenir ni terme en/>% ni terme en q^ ; donc les dérivées A^ et C^ sont nulles. Ainsi A ne dépend que de x et G ne dépend que de j^. Il faut distinguer deux cas, suivant que le produit AC est nul ou différent de zéro.
QUKLOt'ES PROPRIÉTÉS DES SUBFACES HAUMOMOUES. 33
5. Premier cas. — Le produit AC est nul. Ses deux facteurs ne peuvent être nuls, ce qui réduirait l'intégrale I au premier degré. Soit donc (] = o. Nous supposerons aussi A = i, moyennant un changement de variable (jui ne porte que sur .r. Alors l'identité à vérilier devient
- b [Qy {p -^ M) (7 -^ N ) H- ^ (V -- N) + ^' (/>+ M)] - ^-^^<P -^ ^W -^ 4)
Son premier membre ne contient pas de terme en pq^. Donc ^ est nul, ce qui réduit le second membre à une fonction linéaire de q. Le premier dcîvant aussi en être une, la dérivée b'^ est nulle et b ne dépend que àQy,
Soit d'abord b = o. L'identification donne six équations d'où Ton tire aisément
-G)l' •''^'KOl' ''— "- '*=^"-5
a* Yî*
en désignant par y] et Y deux fonctions provisoirement indéterminées de^. Comparant les expressions de c et de c^.^ on trouve
parce que l'équation N'^,— M^.= iik\ se réduit ici à f ^ j = a/AX. On a donc
>. zrr (2/ÂY3 — Y').r + 0(7).
Substituant cette expression dans la relation précédente on trouve
d'où l'on conclut d'abord que la surface est développable, X^ étant nul;
34 L. RAFFY.
puis, calculant y) et Y pour avoir c, on trouve 2c = a* -f- const., en sorte que rintégrale I se réduit au carre de /? -f- a; ce n'est plus qu'une intégrale linéaire.
Lorsque b n'est pas nul, nous pouvons, au moyen d'un changement de variable portant sur j^, faire ft = i . L'identité proposée devient
Les deux membres sont linéaires par rapport à ^r -h N. Identifions les coefficients de y -h N et les termes indépendants :
i[N:,(/> + a) + N;~^>-c;,](y. + M)=-X(«/>4-y). La seconde de ces identités donne
iN^ - - f^y, a — ji » / — 5^i '-
La première devient par suite
(p ^ «)[- -K'Ap + M) -^ XM:,] - X(a> 4- c^) - l'yip 4- M ) 4- XM;
Ordonnant son premier membre par rapport à /? -h M, on trouve, par identification,
ce qui, à raison de N^= a^., peut s'écrire
c; — afl;.4- n;.- >.i, c;= (Ma);- MM;-h m;,
6. Telles sont les quatre équations du prol)lème. l^cs deux premières feront connaître c quand les autres fonctions seront déterminées; mais
elles entr«ilncnt la condition d'intégrabilité cj.^=c^^., qui, eu égard à N^ = a^, peut s'écrire
à^ (M-ay __ â^{M-a) ^„ dx à y 2 dy^ ^"
Aux deux dernières équations X^= [X(M — a)]^, >i^= a^., il faut adjoindre la relation N' — M' = iik\.
L'élimination de N et de X se fait aisément et donne
d» (M — rt)» d^iCS\ — a)
dx ày 2 dy^
De ce résultat et de celui qui précède, on conclut que la dérivée X^., est nulle; c'est-à-dire que X est une fonction linéaire de x
Y' et Y]' étant deux fonctions de/. L'élément linéaire \dxdy a donc bien, comme nous l'annoncions au début, la forme
ds^ — i^xT -\- f\' ) dx dy ,
qui a été trouvée par M. S. Lie (*) pour les surfaces représentables géodésiquement sur d'autres surfaces avec conservation d'une seule famille de lignes de longueur nulle. Mais ici les fonctions Y' et yj' ne sont pas arbitraires. Substituons en effet l'expression de X dans les équations
il vient
[X(M — a)];= ^Y" -h fi\ (M - a); — -. 2«)t(^Y'-+- Yî'),
d'où, en intégrant et désignant par yj^ et \ deux fonctions, l'une de y, l'autre de X, on tire
(u- Y'-4- Yî')lM — a) ru — T'-\- fi'x -h Y)o, M - a -- iikx\ - 2 ikiX -h yî ).
Eliminant M — a, nous arrivons à cette équation différentielle indéterminée
(i) 2/it(^Y'-hYï')(-^Y + ^4-Yî)-f- ^Y"-+-rî"x+Yîo=o.
(*) Math, Annalen, t. XX, p. 424-
36 L. nAFFY.
Pour la résoudre, diflorcnlionsJa trois fois successivement par rapport à .r, ce qui donne
(2) Y'(;.r)"'-f-r/^'''rr:0.
Je dis qu'on ne peut pas supposer ^'^ ^ o. En eflet, Y' n'étant pas nul, sans quoi la surface serait une développahle, on pourrait, si H*" n'était pas nul, écrire
Cette équation se sépare et donne, avec une constante arl)itraire ///,
dés lors, Télément linéaire X dxdy devient
ds' —{x — m) Y' dx dy,
ce qui ne correspond qu'à des surfaces développables imaj^inaires. 7. Soit donc désormais ^'"= o. Comme on a aussi
la dérivée \" est nulle ép^alement, et il vient, avec deux arbitraires /;, ^,
l — bx^ (3.
Substituons ^ dans l'équation (i); nous trouvons
Egalons à zéro les coefficients de x^ et jc, ainsi que le terme indépendant
^ikT{\ -f- b) -+- Y" = o, iik[{\ 4- ^^)(r3 H- [3)]'-h Yî^rr. o,
likn'in -h j3) -h yîo=:o.
I^a dernière de ces équations fournira r\^ quand la fonction r\ sera connue Les deux premières s'intègrent immédiatement. On en tire, avec deux arbitraires m et A,
2/A(Y -h by -\- Y —-"i i km\ 2ik{\ 4- ^)(y) h- j3) + n'— 2//.
Supposons d'abord m=^o; nous aurons
2 ik dfy Y -4- ^ =— /?i lang 2 ikmy.
Ku égard à cette expression de Y h- &, l'équation en yj devient — ii km (rj -+- j3) sina ikmy -f- to ' cos 2 ikmv = 2 ikmg ces 2 1 Xrw r {"i/i — i / /«v.ir )
et donne par intégration
( Y) -h p ) cos 2 ikmy =: ^ si n 2 ikmy -+- /,
rj H- (3 ^ ^ tang 2 x /m v 4-
C0S2i7r/;iK
Nous avons alors
y, 2 ikm* , iikm{g ^ l^uxiikmy)
cos'2«Xm/ ~ cos*2f/r/;?y ^
d'où Télément linéaire
ds^ = (.r y 4- Yî') dx dy = ^^ =-^^7 '-~dj^ dv,
•^ do^^iikmy "
ou, sous une autre forme,
ds-zzzlx'-^ ^*^
--L== Xdx'dy',
Si Ton fait m = o, on trouve
(Y -h 6)» ^' Mky'
Téquation en y] devient alors
yj -h (3 -h r}'^=: 2//.^-;
son intégration introduit une nouvelle constante /,
y{n-\-'^) — hy*--^l. Y) -h ô HZ h y -4- -
Les expressions trouvées pour Y et yj donnent
I — 7J î» YJ — I
38 L. RAFFY.
d'où rélément linéaire
qu'on peut aussi écrire
ds^ = fx' 4- -^,) dx^ df.
Les deux éléments linéaires que nous venons d'obtenir
ds^ — (x' -4- -jlÉ=\ dx' dfy ds*=z (x' -+- -^^ dx' dy
sont, abstraction faite d'un élément linéaire de développable imaginaire, les deux seuls pour lesquels le problème des cercles géodésiques admette une intégrale quadratique, mais linéaire par rapport à l'une des dérivées p et çr. Il est à peine besoin de faire remarquer qu'aucun de ces éléments linéaires ne convient à des surfaces réelles. On sait, en effet, que, si l'élément linéaire
ds'=L (x H- \)dxdy
convient à des surfaces réelles, Y ne peut avoir que l'une des deux expressions
Ajoutons enfin que ni l'un ni l'autre ne peut être ramené à la forme harmonique. C'est ce dont on s'assure en déterminant la fonction r\ de la seule variable y par la condition que la fonction X = a: -f- v] satisfasse k l'équation de M. Darboux
2Xx;.-h3X'x;-hXX'3=2Yx;.4-3Y'x;.-^XY^
par laquelle on exprime que l'élément linéaire \dxdy est réductible à la forme harmonique.
8. Second cas. — Le produit AC n'est pas nul. Revenons à l'identité
Nous avons vu que A ne dépend que de x^ et G que de y; et nous supposons maintenant le produit AC différent de zéro. En changeant la variable x et aussi la variable y, nous pouvons réduire les deux fonctions A et G à l'unité. Alors l'identité proposée devient
-(a/>-H(3^4-y)[(/?-+-M)(y-^N)^>.], La comparaison des termes en p^q et g^p donne
Identifions les termes en p' et g'', nous aurons
puis ceux en pq; il viendra
Gomparons les termes en p et en q^ et remplaçons y par sa valeur; nous trouvons
Identifions enfin les termes indépendants, en ayant égard aux expressions de Y, c'j. et c'y. Il vient, tous calculs faits,
(3) (Miy,-{aiy,^{my,'-(biyy-^o.
9. Nous avons maintenant à discuter les cinq équations (i), (2) et (i) auxquelles s'ajoute la condition d'intégrabilité 0^^.= c*^,
Remarquons auparavant que, dans l'hypothèse
4o L. RAFFY.
(jiii correspond aux lignes géodésiqucs, celte dernière condition donne X,, — A^., = o, d'où.X = (p(.r -+-/)— f{x — y). On retrouve les surfaces harmoniques. Le calcul s'achève sans difficulté et conduit à l'intégrale quadratique connue, écrite sous forme non homogène
\ous pouvons faire abstraction des relations (2) qui déterminent c, moyennant la condition (4). Pour satisfaire aux équations (1), nous introduirons deux nouvelles fonctions inconnues p et a en posant
(1') « — Px. ^' = p!>; f^~<^\y M — (t;..
Ces fonctions devront satisfaire à l'équation
(5) p';,=zzcr:,.=:N.;-M;=2£X->..
Remplaçons maintenant a, &, M, N par leurs expressions (T) dans les relations (3) et (4); il vient
j)Our la première, et pour la seconde
= ^ [( ^y — 9 y ) ^xy —(^x—px) <7.. » -+- <^x 9xy -^ 9x ^xy — >• > J »
ce qu'on peut écrire, en doublant les deux membres,
^^,Lvrxo vrr/x' -Kry-y^y "-^^—^y
OU encore, en groupant convenablement les termes.
On voit que les fonctions p et cr n'entrent que par leur différence dans les équations (3'), (40 ^K^)? ^^ ^^^ conduit à poser
QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES HARMONIQUES. f\î
Alors réquation (5) devient
Portant cette expression de X dans la relation (3'), on trouve D'autre part, Téquation (4') n'est autre que
Ainsi la différence X''., -— X*, est nulle. D'où cette conclusion :
Les seules surfaces réelles pour lesquelles l'équation aux ceixles géodésiques admette une intégrale quadratique sont des surfaces harmoniques,
10. Remarquons tout de suite que cette propriété n'appartient pas à toutes les surfaces harmoniques. Soit, en effet,
les deux équations (3") et (4") se confondent en une seule; mais les fonctions O et F doivent être choisies de manière que les deux équations
soient compatibles. Nous verrons qu'elles comportent des solutions communes en nombre infini. Soit ^ l'une d'elles; cette fonction ^ étant connue, l'élément linéaire est connu, puisque nous ayons Q.ik\ = Q^. On connaît aussi la différence p — œ = C, qui seule est déterminée. On peut se donner arbitrairement la somme
Alors p et a seront connus. Les formules (i') fournissent immédiatement M, N, a et 6; la fonction c s'obtient par quadrature, ses deux dérivées partielles étant données par les équations (2), maintenant compatibles. L'intégrale quadratique est entièrement connue. On sait l'usage qu'il en faut faire pour trouver l'équation finie des cercles géodésiques.
[\'l L. RAFFY.
H . Tout revient donc à la solution de ce nouveau problème :
Trouver une fonction ^ de x + y et une fonction F de x — y^ telles que, si l'on pose
on ait identiquement
La première de ces équations est immédiatement intégrable; on en déduit, en désignant par Ç et yj deux fonctions inconnues, Tune de x^ l'autre dey,
K = 2ik\ j ^{x^y)d{x 4-y)H- iF{x-^y)d{x—y)-h jldx— ffidyy
Portant cette expression de ^ dans la seconde équation, nous avons
ou, en effectuant et réduis'ant,
(5'4- Yî') (*'— F') + l{<^" — F') -+- M^"-^ Y") — 2(4) F^— ¥<^'').
Donc, pour connaître tous les éléments linéaires harmoniques
tels que l'équation aux cercles géodésiques admette une intégrale quadratique, il faut trouver toutes les solutions de V équation fonctionnelle
(4'-h Y)') (*'— F') H- ^(4>''-- F") H- y)(^''-*- F'') == aC^F"— FO)").
12. Plaçons-nous d'abord dans un cas particulier et supposons que l'équation aux cercles géodésiques admette en outre une intégrale linéaire. Nous avons vu que l'élément linéaire convient alors à des surfaces de révolution, ce qui permet de supposer F' = o et, par suite, F = o. L'équation précédente se simplifie :
Si nous posons, pour un instant,
^'{x -4- y) = ^^, ds^=e*^ d.r dy,
il viendra
(i) 5'-ht)'-h(£-+-Y))a/=:o,
co' étant la dérivée de a> par rapport à la variable t^r^x -\- y. Egalons à zéro la dérivée seconde du premier membre prise par rapport à .a? et à ^; nous aurons
(2) (£'4-y,')a)"-h(^H-yî)ar=o.
Si le déterminant co'" — (o'o)" des équations (i) et (2) n'est pas nul, on a
en sorte que la proposée se réduit à une identité et laisse la fonction $ entièrement arbitraire. Mais on reconnaît alors aisément, en achevant les calculs, que l'intégrale quadratique se réduit à (/> — qY en vertu de
(/? + M)(^-hN)z=:X.
Ce n'est pas là une intégrale quadratique proprement dite. On doit donc supposer o)'"— (o'co"= o. Or, si Ton se rappelle que la courbure totale de l'élément linéaire e^ dxdy a pour expression
on voit qu'ici elle est constante.
Donc, les seules surfaces pour lesquelles V équation aux cercles ^éodésiques admette à la fois une intégrale linéaire et une intégrale quadratique sont les surfaces à courbure totale constante.
13. Les solutions correspondantes ne sont pas d'ailleurs les seules qu'admette Téquation du problème. On voit, en effet, immédiatement, qu'elle est vérifiée quand on prend
J=:io, /) = o, ^ = -^= const. = r*.
On a alors pour $ et F ces expressions
OÙ /, m, /z, p sont des constantes arbitraires. L'élément linéaire ainsi obtenu
correspond à des surfaces dont la courbure totale
— 8 /•* ( Ini — np )
n'est pas nulle en général. De plus, on voit qu'elle est fonction de X, et, comme le paramètre différentiel AX = X^X'^ : X ne se réduit pas à une fonction de X, les lignes d'égale courbure ne sont pas parallèles, en sorte que l'élément linéaire \dxdy ne convient pas à des surfaces de révolution. On aura donc bien là une véritable solution de notre problème. Nous ne nous occuperons pas ici de trouver toutes les autres.
( Extrait des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IX.)
aao^ PARIS. — IMPRIMERIB QiUTHlER-VILLARS ET FILS, QUAI DBS GRANDS-AUGUSTINS, 53.
ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. 33l
Détermination des éléments linéaires doublement harmoniques ;
Par m. lu. RAFFY.
Les pages qui suivent contiennent la solution complète d'un problème abordé dans un cas particulier par M. Sophus Lie et proposé par M. Darboux aux efforts des géomètres : Déterminer tous les éléments linéaires doublement harmoniqueSy c'est-à-dire réductibles de deux manières, et par suite d'une itifinité de manières, au type
ds' = \':,{x^y) — f{x---y)\dxdy.
Cette solution formait la seconde partie de mes Recherches sur les surfaces harmoniques {^^ qui ont obtenu de l'Académie des Sciences une mention honorable dans le concours pour le prix Bordin en 1892. Pour abréger le texte primitif, j'ai retranché du Chapitre premier des développements analytiques rendus superflus par l'emploi ultérieurement fait (Chapitre IV) de la théorie des fonctions; en outre, j'ai supprimé dans les Chapitres II, III et V certains calculs intermédiaires. Rien n'a été changé au Chapitre IV. J'y ai seulement ajouté, hors texte et entre crochets, deux notes, dont l'une complète la seconde démonstration de l'uniformité des solutions, et dont l'autre démontre un
(*) La première partie est publiée dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ la troisième et dernière dans les Annales de r École Normale supérieure,
Journ, de Math. {\* série), tome X. — Fasc. IV, 1894. 4^
332 L. RAFFY.
lemme incorrectement établi. Je mets aussi entre crochets les renvois qu'il y a lieu de faire à certains de mes travaux antérieurs.
