GÉNÉRALITÉS. LOI DE PASSAGE. LOI DE RÉCIPROCITÉ

I . Nous commencerons par classer les éléments linéaires réductibles à la forme harmonique. Notre analyse nous fournira les caractères auxquels on reconnaît, un élément linéaire étant donné sous cette forme, s'il est doublement harmonique ou ne Test pas.

Pour qu'un élément linéaire \dxdy soit réductible à la forme harmonique, il faut et il suffît qu'il existe un changement de variables

dx j r dy

tel qu'on ait l'identité

\dxdy = [<f(x'-hy) — /(x'—y)]dx'dy'.

C'est ce qu'exprime l'équation fondamentale

2xx;.- 2Yx;.+ 3X'x;- 3Y"x;4-(X"- Y")x = o,

qui a été donnée par M. Darboux ('). On arrive à ce même résultat en exprimant que l'équation aux géodésiques

(*) Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, l. II, p. 209.

admet une intégrale quadratique

I ^ Ap^ -{- 2 Bpq -h C y ^ = const.

En efl'et, en écrivant que lé crochet [A, IJ est identiquement nul, on voit d'abord que A dépend seulement de a? et C seulement dey, et si Ton pose A = X, C = Y, les deux autres conditions deviennent

Il n'y a plus qu'à éliminer la fonction inconnue XB pour retrouver l'équation fondamentale. On voit que X et Y sont deux des coefficients de l'intégrale quadratique.

Il convient, pour la discussion qui va suivre (*), d'introduire à la place de X son logarithme co. L'équation fondamentale devient alors, après suppression du facteur e^ commun à tous ses termes,

(F=2X((o-4.co:.o-2Y«-f.co;o ^ ^ 1 4.3X'(o;-3Y'(o;-hX"-Y"=o.

A cette équation nous adjoindrons l'équation F^^= o, savoir

( . ( 2X((o;' + a>;,);^- 2Y(co;-f- a);.);^-h x'(4w>;^-h ow;:,^)

^ ^ 1 — Y'(4co>;^4-5<0 + 3(X''-Y")co;^=o,

Pour que cette équation ait lieu indépendamment deX, Y, X', Y^ et X"— Y", il faut que co^^ soit nul, ce qui exprime que la surface est dévcloppable. Cela suffit d'ailleurs, comme on le voit aisément.

Laissant de côté les surfaces développables, nous supposerons désormais iiij^y. différent de zéro. L'équation (2) n'est pas une identité, mais elle peut se confondre avec l'équation (i). Pour qu'il en soit ainsi,

(*) [L. Rapfy, Sur les spirales harmoniques (Comptes rendus de r Académie des Sciences^ t. CXIl, i8gi ; p. 5i8)].

i'i,\ L. RAFFY.

il faut et il suffit qu'en éliminant une des inconnues, X"— Y" par exemple, entre ces deux équations, on arrive à une relation qui ait lieu indépendamment de X, Y, X' et Y' ; or on trouve de la sorte

- 2Yf(a>; + 0,;.);, - 3co;,(o>; + co;.)] Représentons la courbure totale par — 2 e®; nous aurons

et Téquation précédente prendra la forme plus condensée

j 2X(e:;4-o:., + 4co:,o;)--2Y(o; + o;,4-/ico;o;,)

Pour qu'elle ait ses quatre coefficients nuls, il faut et il suffit visiblement que 6 soit constant, c'est-à-dire que la surface ait sa courbure totale constante. Nous laisserons encore de côté ce cas, facile à reconnaître.