En vue d'abréger l'écriture, nous poserons

de sorte que l'équation précédente deviendra

(3') AX - BY H- o;x' ~ o;y = o.

Différentions-la séparément par rapport à x et par rapport à^; nous trouvons

Ces équations déterminent X"et Y" si aucune des dérivées Û^, 0' n'est

nulle. Mais elles ne sont pas nulles toutes les deux, puisque nous supposons que l'équation (3) n'est pas une identité; en outre, si l'on suppose qu'une seule soit nulle, on voit aisément, en ayant égard à Téquation (3) et à la définition de 0, que l'autre dérivée est nulle, ce qui est contradictoire. Nous pouvons donc éliminer X'' et Y" entre les équations (4) et (5) et l'équation (i). Il vient ainsi

Voyons dans quel cas cette nouvelle équation sera une identité. A cet effet, calculons les coefficients C| et D, de X' et de Y'; ils ont respectivement pour expressions

En les égalant à zéro et comparant les deux valeurs de 0^^ tirées des équations ainsi formées, on trouve que le déterminant fonctionnel

est nul. Par conséquent le rapport 0^.0^. ; X est une fonction de 0. C'est le premier paramètre différentiel AO de la fonction 0, et il est bien connu que, quand AO est fonction de 0, les courbes =i= const. sont parallèles. Donc ici les lignes d'égale courbure ÇK^ Rj ^= consl*) sont parallèles sur toutes les surfaces d'élément linéaire \dxdy. Or on a ce théorème (*), démontré au début de notre première partie : Pour qu'une surface dont les lignes d'égale courbure sont parallèles soit harmo*

■ ■ I . lu ■ I I

(*) [L. Rafpy, Sur une classe de surfaces harmoniques {Comptes rendus de V Académie des Sciences ^ t. CXII, 1891; p. 4^4)]*

336 L. RAFFY.

nique y il faut et il suffit qu^elle soit applicable sur une sur/ace de rwolution. Ainsi, dans le cas actuel, les surfaces considérées sont applicables sur des surfaces de révolution.

Nous allons voir qu'il doit encore en être de même, si Téqualion (6) se confond avec l'équation (i). En effet, si l'on écrit la proportionnalité des coefficients de X' et de Y' dans ces deux équations, on trouve simplement

ce qui exprime encore que les lignes d'égale courbure sont parallèles. En conséquence, nous pouvons énoncer cette conclusion : Si l^élément linéaire \dxdy ne convient pas à une surface de révolution ^ les équations (3') et(Jù) ne sont pas des identités et sont distinctes l'une de Vautre; et récipr'oquement-

3. Comme ce résultat suffit pour la suite, nous ne pousserons pas plus loin la discussion générale. Nous supposerons désormais qu'il s'agisse d'éléments linéaires doublement harmoniques, c'est-à-dire que X ait déjà la forme ç(^ -f-y) — /(^ — y)« Nous n'aurons qu'à introduire dans les équations précédemment étudiées la condition

an dn ___ d^ d^

qui exprime cette propriété et qui n'est autre que (7) a):;'-ha):,= co;-h(o;..

Il est clair que cette condition ne modifie en rien notre analyse, et que nous avons toujours, étant donné un élément linéaire doublement harmonique, à distinguer trois cas exclusifs : i*' l'élément linéaire convient à une surface à courbure totale constante, nulle ou diflTérente de zéro; 2? il ne convient pas à une surface à courbure totale constante, mais il convient à une surface de révolution; 3® il ne convient pas à une surface de révolution. Les deux premiers cas seront traités en détail aux Chapitres II et III. Nous allons examiner le troisième.

Hemarquong qu'en vertu de la condition (7) les coefficients de X

ÉLÉMENTS LIIfÉAIBES DOUBLEMENT HARMONIQUES. 337

et de — Y sont égaux dans Téquation fondamentale (i) et aussi dans les équations (3') et (6). En effet, en se reportant au n** 1 de ce Chapitre, on voit que les expressions primitives de A et de B sont

Donc ici les deux fonctions A et B sont identiques, et, par suite, les coefficients de X et de —Y dans les équations (3') et (6). Ces équations peuvent donc s'écrire

et nous venons de voir (n** 2) qu^aucune d'elles ne se réduit à une identité et que, de plus, elles sont distinctes l'une de l'autre. Nous pouvons donc les résoudre et tirer

v^; x-Y ■" D,e;-Cie; ""°'' x-y ~" Diô;-c,o^ "~ P*

Pour que les fonctions désignées par a et ^ soient les dérivées par rapport à 07 et à y du logarithme d'une expression de la forme X — Y, il faut et il suffit que Ton ait

Telles sont les deux équations du sixième ordre auxquelles doit satisfaire la fonction f — /. Quand elles sont vérifiées, on connaît, à un facteur constant près, une fonction X — Y, dont les dérivées logarithmiques ont les valeurs (8) et qui) par suite, satisfait aux deux équations (3') et (6). J'ajoute qu'elle vérifie aussi l'équation de départ F = o. En effet, soit $ le premier membre de l'équation (3'); celui de l'équation (6), d'après sa formation, n'est autre choSe que

338 L. RA.FFY.

Or, il est identiquement nul, ainsi que $; par suite, les dérivées $^. et <P'y étant nulles aussi, il reste F = o. Ainsi, les équations (9) assurent à l'élément linéaire (ç — f) dx dy la propriété d'être doublement harmonique. Elles caractérisent donc les éléments linéaires doublement harmoniques qui ne conviennent pas à des surfaces de révolution.

4. Loi de passage (*). — Voici une remarque qui, bien qu'intuitive, a une grande importance, que nous ne tarderons pas à reconnaître. >

Soit un élément linéaire \{\^r\)d\dr\ qui acquiert la forme harmonique

(10) [^(^X'\-y)-f{x-y)\dxdy

par le changement de variables

(10') dx=-fi^. dy= "^^

v/RTI) -" v^SCm)

et qui acquiert aussi une seconde forme harmonique

(u) \^^{^^■+■y^)-'f^{x^--y,)\dx,dy,

par le changement de variables

(II') dx, = Sfri' dy^ ''"

Pour passer de la première de ces formes à la seconde, il n'y a pas d'autre changem.ent de variables possible que celui-ci :

12) dx, = -7 » dy,= -y=^=,

(*) [L. Raffy, Sur les éléments linéaires doublement harmoniques {Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. CIX, 1889; p. 609)].

OÙ l'on a posé

le rapport R, : R étant exprimé en fonction de x et le rapport Si ; S en fonction de y^ au moyen des formules (lo').

Il est évident que le changement de variables ( 1 2) effectue le passage de(io)à(ii); pour s'assurer qu'il est le seul, il suffit de considérer a* » comme fonction de x par l'intermédiaire de Ç, ety^ comme fonction dey par l'intermédiaire de y].

La loi de passage nous permettra aux Chapitres II et III de résoudre, dans les cas où il est le plus intéressant et le pliis difficile, le problème suivant : Étant donné un élément linéaire doublement harmonique (? ^f)^^^y^ trouver toutes les solutions correspondantes %et Y de l'équation fondamentale

5. Loi de réciprocité (*). — Voici une autre remarque, à peine plus cachée et non moins féconde que la précédente, qui en est essentiellement distincte.

Uéquation aux éléments linéaires doublement harmoniques (équation précédente) est le développement de la condition

qui exprime qu'en effectuant le changement de variables

j dx 1 dy

dx^ = -=i dy^ = -pr,

(^) [L. Raffy, Sur les éléments linéaires doublement harmoniques {Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. CIX, 1889: p. 609)].

Journ. de Math. (4* série), tome X. — Fasc. IV, 189^. 41

34o L. RAFFY.

on vérifie identiquement l'égalité

= [?«(^i^-70-/i(^* '-yi)]dx,dy,.

Mais, avec les variables auxiliaires t = x-hy^z = x—'yy on voit immédiatement que cette équation peut s'écrire

ce qui exprime que, par le changement de variables

j. dt , dz

aL = ■• ,■■■ ) az. =

on vérifie l'identité [X (£±f ) - Y ('-=i)] ** = [X, (^) - Y, (^)] d,.d... Ainsi, à tout élément linéaire doublement harmonique

[? (^ -^y) -f{^ " y)] d^dy,

en correspond un autre

OÙ X et Y ont les significations précisées plus haut. C'est ce que l'on peut énoncer ainsi :

Ayant trouvé quatre fonctions

qui satisfont à V équation aux éléments linéaires doublement harmoniqueSy on en obtiendra une nouvelle solution en prenant pour X, Y, (p et f respectivement les fonctions

ç(x), /(y), , x(iî^), y(^).