A COURBURE TOTALE CONSTANTE

1 . Dans ce Chapitre nous nous proposons non seulement de retrouver toutes les formes harmoniques de l'élément linéaire des surfaces à courbure totale constante, mais aussi de déterminer toutes les solutions correspondantes de l'équation

en vue d'en déduire, par la loi de réciprocité, de nouveaux éléments linéaires doublement harmoniques.

2. Sur/aces développables . — Aux résultats de Liouville nous ajouterons la détermination des changements de variables qui permettent de passer d'une forme harmonique de' l'élément linéaire du plan à une autre.

Pour que l'expression

^'= [?(^ -H 7) -f{x -y)]dxdy

soit l'élément linéaire d'une développable, il faut et il suffît qu'on ait identiquement

On résout cette équation en égalant les dérivées secondes de ^y^ prises par rapport à x et par rapport à y. On obtient de la sorte six

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expressions distinctes des fonctions ç et/, savoir

(II) ( ? = ï + "^(^+>')» ,y^ [ ? = T -^ '««'""■''»

(III) i ? = ï + "*(^+r)'' (YiN ( ? = ï + wCh2(a;+>'),

I / = Y-t-/»(x-jK)"; I /r=Y-i-'»Ch2(x-7).

3. Pour trouver les solutions correspondantes de l'équation (i), partons des relations

auxquelles nous adjoindrons celle-ci

vérifiée par les fonctions (I), (II), (III) parce que ^^ — f" et rsont nuls, et par les fonctions (IV), (V), ^VI), parce que (p"=:49 et /" = 4/« Grâce à ces remarques nous pourrons écrire l'équation (i) de cette manière

On voit que cette équation se sépare en deux

2rX -h 3X' ^ -h X" = const. = 2/r, ar Y -+- 3Y' 5^ -f- Y" = const. = ik,

qu'on intègre en donnant k ^ çXy^ les expressions qui correspondent aux six solutions rappelées.

Il suffit, quand les intégrations ne sont pas immédiates, de multi-

(IIl)