VI

plier soit par ^ soit par jç, et de remplacer au besoin 44' P^^" ^" ^^ ^7. par y(^\ pour les rendre possibles. Nous ne ferons que transcrire le Tableau des résultats, où tous les coefficients désigneront des constantes arbitraires.

kx" -ha,x -h cfo,

Y->-/«(a7 4-jK),

y-i-m(x-hyy\

Y -+- me»"*''',

■hy'

+ bo-

TO(a; -

-ky

X = c -h aoCh~^'2.x* -f- a4Sh"^2x, Y r= c -f- b^e'^^ -h b^e' ^^ .

^ = Y -h mCh2(x -H^), Y = Y "*" /wCh2(a; ~- y);

X = c -h aoCb~'2:z: -h a,Sh~^2:f, f z=z c -h bnChr'^2y -i- Z^, Sh *2j)/.

Ces diverses expressions de X et de Y s'obtiendraient aisément par l'application de la loi de passage, dont nous allons nous servir bientôt.

4. Sur/aces à courbure différente de zéro. — Pour ces surfaces les formes harmoniques de l'élément linéaire ont été déterminées par M. Darboux (*). Après les avoir rappelées, nous ferons connaître tous les changements de variables par lesquels on passe de l'une à l'autre.

Liouville a montré que l'élément linéaire de toute surface à courbure constante — 2c, rapportée à ses lignes de longueur nulle, est de

(*) Leçons sur la théorie des surfaces, l. II, p. 209-211.

344 L. RAFFY.

la forme

OÙ Ç, Y) désignent des fonctions arbitraires, l'une de x^ l'autre de y, et $\ Y)' leurs dérivées. Il faut donc déterminer les fonctions S, yj de telle sorte qu'on ait identiquement

On trouve ainsi qu'elles satisfont à la même équation différentielle

t'«=R(i), ïi-=R(r]),

OÙ R(p) est un polynôme du quatrième degré à coefficients arbitraires, qu'on peut soumettre à telle transformation homographique qu'on voudra.

1° Si R a ses quatre racines égales, on prend R, (p) = i ; d'où

et, en supposant désormais la courbure égale à 4?

(I) ds'^j^^,-

2° Si R est carré parfait, on prend R2(p) = (p* -l- i)* ; d'où

?2' = (^ï -+-•)*' Vï' = (^2+')''; ?a = tanga?, Yij=tangy;

(II) ds^== . ,f ^^ •

3° Si R a une racine triple, on prend R3 (p) = 4p; d'où

4® Si R n'a qu'une racine double, on prend R4(p) = 4pXp — i); d'où

$- = 45î(^,-i), ri- = 4riî(^,-0; ^.= ni^' ri,=

sin'^r •" sin^y'

(IV) ds*=-\-^ T-^TT-' Adxdy.

5° Si R a ses racines distinctes, nous prendrons

d'où

5? = 45' -g^^*- g*, ri7 = 4tq! - g»rii—gi ;

(V) cfe» = [p(x + x) — p(a;-y)]<ia;rf7.