II

et dont voici la seconde :

ATj = iB lre^r-/iU^^fi^mhe-^''-f'^f, AT3 = — 2Bm(r — A) e-<'-+A)/, ATî= — 2A/(r — A)e('^AJ^ AT4 = — aB/Ac('--*^'-t-2Am/'e~('*-A^',

Dans les deux tableaux, tous les coefficients sont arbitraires, sous la seule restriction r — h^éo.

Les expressions ainsi obtenues pour X et Y ne sont que les types analytiques dans lesquels il faut chercher les solutions de notre problème. A cet effet, je les substitue dans l'équation (S), qui se décompose en deux autres, équivalentes à celles-ci

l [3(T,-f-T,-T3-TO-8/]T ^^ 1 H-(2r-+-2A~30(T,-hT,-HTa-4-Tv) = o;

l 4(r-4-T»-2rA-r)-4-3T(T,-T,-T,-4-TO ^^^ î -h(2r-4-2A — 3/)(Ti--T,+ T, — T4) = o.

Pour les expressions (I) des fonctions T, qui correspondent à r = A = c, ces équations sont incompatibles. Il reste donc à discuter les solutions qui composent le système (II). On reconnaît d'abord que l'équation (T) peut se réduire à une identité, et l'on trouve ainsi un élément linéaire

( i) ds^ = c-'(^-r) e ' "*" cos ^^^ dx dy,

qui rentre dans le type (e) tout en admettant une infinité d'autres formes harmoniques.

Nous tirons ensuite de l'équation (T) l'expression de T pour la porter dans l'équation (2r). Le résultat de cette substitution est naturellement compliqué. On le simplifie par la mise en évidence du facteur A commun à tousses termes; mais il reste encore une fonction linéaire de huit exponentielles

qu'il faut rendre identiquement nulle en déterminant convenablement les arbitraires A, B, /, m, r, h. La discussion du système d'équations algébriques auxquelles on est conduit comporte l'exa-

men de cas assez nombreux, qui se rangent sous trois hypothèses principales :

1° Tous les exposants sont différents de zéro et différents les uns des autres ;

2° Tous les exposants sont différents de zéro, mais certains d'entre eux sont égaux ;

3^ Certains exposants sont nuls.

La première hypothèse ne donne rien; la troisième ne donne que des développables. La deuxième conduit à trois éléments linéaires

(2) ds^^e-f^'-y^ye"^ -he""^) dxdy,

ds^ = e-^t*-r) ( cos ï— î^ ^ ^dxdy,

( 4 ) rfs> = 6-'(*-r^ cos ^ ' ^ dx dy,

qui rentrent dans le type (m) tout en admettant une infinité de formes harmoniques. Le dernier est le seul qui convienne à des spirales doublement harmoniques et à des surfaces de révolution. Finalement, je conclus que tous les éléments linéaires cherchés rentrent dans Vun des trois types (/n), (e), (/) et que les seuls qui soient doublement harmoniques sont les éléments linéaires

(.), (2),(3)ef(4).

Le Mémoire se termine sur ce résultat. Je n'y aborde point la

recherche des spirales qui admettent les éléments linéaires trouvés. Je renverrai à une Note que j'avais publiée antérieurement Sur la détermination des surfaces spirales d'après leur élément linéaire. (Voir Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, i. CXII, p. \^ii\ ^891.)

(Extrait du Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXII; 1894-)

S119t parlt. — Imprimerie GAUTIIIER-VILLARS ET FILS, qnal det Grtndt-AagasUnt, 55.