I. — Premiers résultats

1. Au moment d'aborder la recherche générale des éléments linéaires doublement harmoniques, il importe de rappeler une distinction qui s'est introduite au Chapitre I entre ceux de ces éléments linéaires qui conviennent à des surfaces de révolution et ceux qui ne jouissent pas de cette propriété. Pour les premiers, l'équation aux jçéodésiques admet, comme l'a montré M. Darl)oux('), jusqu'à Irois intégrales quadratiques distinctes

I, — \p^ -f- 2Ti,pq -^Y-q^'^ d (i=h 2, 3).

Nous avons remarqué d'autre part que les fonctions X et Y de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques

sont précisément les coefficients extrêmes d'une intégrale quadratique. On aura donc, si,

ds"" = [o{.c -4- j) -/(x ^y)\dxdy

(* ) Leçons sur la théorie des surfaces^ Liv. VII, Cliap. VI, n® 596. Nous supposons dans le texte Télément linéaire mis sous la forme "kdxdy.

est un élément linéaire de surface de révolution, trois couples de solutions de Téquation précédente, savoir X^ et Y,, X^ et Y^, X, et Y^. De là résulte que Téquation est encore vérifiée par

quelles que soient les trois constantes S,, S.^ et S». L'une des solutions que nous venons de combiner, la dernière par exemple, est nécessairement de la forme X3 = Y, = const. On aura donc

X - Y = S,(X, - Y,)4- S,(X, - Y,), ce qui montre que les deux dérivées logarithmiques de X — Y,

dépendent d'une arbitraire, qui est le rapport S, : S^, et qui ne figure pas dans ^ —/• Ainsi Ton s'explique pourquoi l'analyse du Chapitre I ne détermine pas ces deux dérivées logarithmiques en fonction explicite de ç -^/ et de ses dérivées, quand la surface est applicable sur une surface de révolution. Dans le cas contraire, ces dérivées sont parfaitement déterminées, une fois donné l'élément linéaire. Il suit de là qu'il ne peut exister plus de deux intégrales quadratiques distinctes pour le problème des géodésiques, sans que la surface soit applicable sur une surface de révolution. C'est la réciproque de la proposition de M. Darboux. Si l'équation aux géodésiques d'une sur/ace admet plus de deu^r intégrales quadratiques distinctes^ la surface est applicable sur une surface de révolution. Ajoutons que, si la surface a sa courbure totale constante, il existe cinq intégrales quadratiques distinctes; c'est ce qui ressort immédiatement du Tableau placé à la fin du Chapitre II.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces éléments linéaires auxquels correspondent plusieurs intégrales quadratiques et qu'on pourrait appeler multiplement harmoniques ; toutes leurs formes ont été données dans les Chapitres II et III. Nous arrivons aux éléments linéaires doublement harmoniques au sens propre du mot, ceux pour lesquels

354 ^- RAFFY.

les fonctions <p(.r -h y) et /(x —y) sont telles que l'équation fondamentale détermine la différence X — Y, à un facteur constant près.

2. Le seul élément linéaire de cette nature que nous ayons rencontré jusqu'ici est celui qui a été découvert par M. Darboux et cité au Chapitre précédent :

Si l'on pose Ç = tangx, y] = tangy, il acquiert la forme harmonique très simple

^/,y2 [" ^ j Ql ^ Q j Ej 1 fljcffy,

Lsin'(j7-h/) cos-(^'-+-/) sin*(a: — y) cos*(.r — k)j *^ '

Par un changement de variables plus général^ M. Darboux le transforme en

'\f désignant la fonction doublement périodique

(r) = Ao i-, hBoSn^MP'H ^ -h Do -^ h Ko.

'' " dii-iî^ sn'ii' Cil- iv

Si l'on remplace j; par mx -h cij y par my H- 6, on voit que cet élément linéaire dépend de huit constantes arbitraires, A^, B,,, Cq^ I^o? le module A*, le multiplicateur m, plus enfin a et 6, la constante E, disparaissant par soustraction.

Ce beau résultat va s'offrir tout à l'heure, par l'application de principes posés précédemment, d'abord sous la forme trigonométrique, puis sous la forme elliptique

ds^ = [']^(x -i-y) - '^(.r -7)] dx dy, '^ désignant cette fois la fonction

ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. 3j5

OÙ les deux invariants g^i g^ sont arbitraires, ainsi que les constantes du numérateur; Tune d'elles disparaissant dans la différence

il n'en reste plus dans l'élément linéaire que six, abstraction faite des deux constantes qu'on peut ajouter aux deux arguments, ce qui porte à huit le nombre total des arbitraires. D'après les propriétés connues de la fonction p, on n'introduirait pas de nouvelle constante en multipliant X eiy par un facteur m; les invariants seuls seraient modifiés. Pour reconnaître l'identité des deux expressions de 4'(^)? ^ suffit de remplacer dans la seconde p par sn, au moyen de la formule classique ( * )

On trouvera ainsi pour ^{w) une fraction ayant pour dénominateur le produit sn^cn^dn^ et pour numérateur un polynôme du quatrième degré en sn^(mH^), à coefficients arbitraires. C'est précisément ce que devient la première expression de ^{sv) quand on réduit tous ses termes au même dénominateur et qu'on remplace w par imv.

3. Voici maintenant comment on peut obtenir d^autres solutions de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques. La loi de passage nous a permis de trouver (Chap. II et III) toutes les solutions de cette équation dans le cas des surfaces développables, des surfaces à courbure totale constante et des surfaces de révolution. A ces solutions, qui sont assez nombreuses, appliquons la loi de réciprocité qui termine le Chapitre I; nous en obtiendrons de nouvelles, et toutes celles qui ne rentreront pas dans celles d'où l'on part répondront à la question.

Pour éviter des doubles emplois, portons notre attention sur le Tableau du Chapitre III où figurent toutes les solutions provenant

(*) Halphbn, Théorie des fonctions elliptiques, t. I, p. 24.

Journ, de Math, (4' série), tome X. — Fasc. IV, 189^. 4^