I. — Solutions réciproques provenant des développables

I Y^^^niy^; /= c(j: — 7)»-+- ^o-+- ^C^r — j)-*.

^ ^ ( Y =: Y -+- ''* <^"'^ ; f=c + b^ e-^'-y) -+- bx tf^»f*-^).

I X :-: Y -h 'w Ch(2^), ç — c -f- «0 Ch-«(a? 4-7)-4- a, Sh-*(a7 4-7), ^ M Y = Y-+-^«G»^(V); /=c4-Z>oCh-«(^-j)-h6,Sh-»(x— 7).

IL — Solutions réciproques provenant des sur/aces à courbure constante. i X = Y) Y=zY— ''^J"*;

X rrr Y> Y =z Y — '^^ sm""*j' ;

©(vT -+-/) = A sin*( jc -h v)-t- Bsin'(a? H-/) cos(jc -h y) -h Gsin' (a? 4-/) cos'(a7 4- j) 4- D sin(j:*-Hj^)cos*(a:-H/)-h Ecos*(j: -+-.k).

X r= Y -H /wj?-*, Y = Y4-/7ïy~';

«p(.r-+-/) =: A(^-+-j)*-hB(^4-7)*+C(^4-j)*-i-D-h E(jc-i-/)-*;

ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOtBLEMENT HARMONIQUES. 357

Dans les solutions du second groupe nous n'avons pas écrit /, qui est la même fonction de or — y que (f de x -hy.

Le dernier élément linéaire du premier groupe et le dernier du second ne diffèrent pas de celui de M. Darboux, pris sous ses deux formes trigonométrique et elliptique. Nous n'avons pas écrit la solution I du premier groupe, parce que l'élément linéaire qu'elle fournit convient à une surface de révolution. On remarquera que dans le premier groupe les fonctions ç et / sont différentes, tandis qu'elles sont les mêmes dans le second.

IL — Uniformité des solutions.

4. Dans les dix solutions que nous venons d'obtenir, les quatre fonctions X, Y, ç et / sont des fondions uniformes. C'est là une propriété fort importante, qui appartient, comme nous allons le faire voir, à toutes les solutions de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques.

Théorème. — Dans tout système de solutions de V équation aux éléments linéaires doublement harmoniques

= 2Y(f'-/")H-3Y'(?'4-/)-HY"(?-/)

les quatre fonctions X(a7), Y(^), ç(a7 -\-y) etf{x —y) sont né^ cessairement uniformes.

Tout revient évidemment à prouver que l'une de ces fonctions, Y par exemple, est uniforme ; le même raisonnement est valable pour X. Dès lors, X et Y étant uniformes, la loi de réciprocité montre que 9

358 L. RAFFY.

et/ le sont aussi. Car, si ç et/ pouvaient être multiformes, il existerait, en vertu de la loi de réciprocité, une solution dans laquelle X et Y seraient multiformes. Je dis donc que Y ne peut pas admettre deux déterminations différentes pour chaque valeur de y.

On pourrait être tenté de raisonner ainsi : l'équation proposée admettrait les deux solutions X©, Y, et X^, Y^, d'où la solution plus géneralc

et l'on voit que la différence

X ~ Y = S, (Xo - YO -+- S,(Xo - Y,)

ne serait pas déterminée à un fadeur constant près. Donc (n^ 1) l'élément linéaire ((f — /) dx dy conviendrait à une surface de révolution. Or, nous avons déterminé, au Chapitre III, toutes les solutions de l'équation fondamentale dans le cas des surfaces de révolution, et nous n'avons trouvé, aussi bien pour X et Y que pour ç et/, d'autres expressions que des expressions uniformes. Mais ceci prouve seulement que Y ne peut prendre plusieurs déterminations quand l'élément linéaire est donné, c'est-à-dire que, si les fonctions ç et / sont multiformes, quand on a choisi une détermination pour chacune d'elles, les fonctions X et Y ne peuvent prendre qu'une seule de leurs déterminations, si elles en ont plusieurs. Mais on ne peut pas exclure a priori l'hypothèse où l'équation fondamentale serait vérifiée par un couple de déterminations X,, Y, de X et Y, avec un couple de déterminations (p, et/i de ç et /, et aussi par un autre couple de déterminations Xj et Yj avec un second couple de déterminations ç.^ et/^. Le raisonnement précédent doit donc être rejeté.

S. Première démonstration, — Nous nous restreindrons aux fonctions qui n'offrent dans le plan aucune ligne de discontinuité, non plus que leurs dérivées des deux premiers ordres. Soit '^{z) une fonction multiforme de cette espèce et soit z^ l'un de ses points critiques. Si l'on part d'un point z avec une détermination ^, (z) et qu'on fasse décrire à la variable un chemin fermé entourant z^, quand on revient on z^ la fonction a pris une autre détermination ^'aC^)- Sa dérivée,

ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. SSq

ne cessant pas d'être définie par la limite du rapport

et n'éprouvant pas de discontinuité, sera devenue, quand le contour se ferme, la dérivée de la détermination finale ^'aC^^)-

Cela étant, supposons que les fonctions <p et/ soient données^ c'està-dire qu'on ait, si elles sont multiformes, adopté pour chacune d'elles une détermination fixe, <p, et/, pour les valeurs initiales x et y des variables, ainsi qu'une détermination fixe X^ pour X, si cette fonction n'est pas uniforme. Supposons, d'autre part, que Y soit multiforme et qu'une de ses déterminations Y, vérifie l'équation ainsi préparée. Désignons par j^^ l'affixe d'un point critique de Y; nous pouvons écrire

par suite, nous attribuerons à x une valeur constante, telle que le point X ne soit pas critique pour X, X' et X", ni le point l = x -h/o

pour (p(/), çXOj ^''(O» ï^î le point z = a;— jo pour /(z), f(z), f'\z). Enfin, faisons décrire à y une très petite courbe entourant le point critique y^. Durant tout ce parcours, la fonction Y et ses dérivées Y', Y", étant supposées solutions de l'équation

= iX{^/-/") 4- 3X'(î' -/') + X"(? -/),

ne cessent pas de la vérifier. Or, à la fin, Y se trouve avoir changé sa détermination primitive Y, en une autre détermination Y^ et, d'après la remarque initiale, les dérivées Y', Y" sont devenues les dérivées Y^, Y^ de cette détermination finale Y^. Par contre, d'après les hypothèses faites sur x^ les neuf fonctions ç, ç', ç", f^f\f'\ X, X', X" n'ont pas changé.

Il suit de là que Y ne peut être multiforme, puisque ses deux déterminations seraient solutions de l'équation fondamen taie /?oarfe même

36o L. RAFFY.

élément linéaire , ç et/ étant fixés. C'est ce qui a été reconnu impossible (n** 1).

6. Seconde démonstration, — On peut encore prouver notre proposition, grâce à une propriété tout à fait particulière de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques : c'est qu'elle peut être intégrée deux fois, de manière à fournir Y par de simples quadratures, quand les autres fonctions sont considérées comme connues. Kcrivons-la, en effet, comme suit :

ot intégrons les deux membres par rapport ky\ en posant

9>{0=f9(Odt, Mz)=f/(z)dz,

nous trouvons immédiatement

= aX(9' + /') + 3X'(9+/) + X"(î.-H/,)-H?(x).

La fonction $,(a;) introduite par l'intégration se détermine en donnant à y une valeur constante ^oî on voit qu'elle est composée linéairement avec les fonctions Ço et/o? ainsi que ç et y, ^' et/', X, X' et X"; elle dépend aussi des valeurs 6^ et b^ de Y et de Y' au point y^^ que nous supposons être un point ordinaire pour Y.

Multiplions les deux membres de l'équation précédente par 9 — /; le premier membre devient la dérivée de Y(o — fY par rapport à y; intégrons une fois de plus; il vient

Y(9 -/)^ = X(ç -/)»-f- 3X' [jr'*V(Orf' - jT" /*(-)«^=]

ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. .'{6l

La fonction 5i(^) se déterminera en faisant y =iy^\ elle est composée comme Ç(^) avec les mêmes éléments auxquels s'ajoutent seulement les intégrales de ç^ (/) et de /^(z), prises la première entre a et a? -f-jVo, la seconde entre h ^\x — y^.

Nous obtenons pour Y, en divisant par (<p — //, une expression dans laquelle x semble figurer, mais qui en est indépendante. Il s\igit de prouver que Y n'a qu'une seule valeur, quand on se donne y. Nous supposerons que les fonctions X, X', X" et les fonctions (p, ç'?/, f ne présentent pas dans le plan de lignes de discontinuité ('), de sorte que les fonctions (p^et/^etles deux autres intégrales qui figurent dans l'expression de Y n'en présenteront pas non plus, et nous désignerons par F(a?,^) cette expression de Y; puis, laissant x variable, nous attribuerons ày une valeur constante h. Je dis que, h étant donné, Y' n'a qu'une valeur.

Gomment concevoir que Y passe d'une détermination Y, (6) à une autre \^{hyt Gela ne peut arriver que pour deux raisons :

I® Ou bien parce que les fonctions Ço?/aj ?>/> ÇS/S ^> ^'> X^sont susceptibles de plusieurs déterminations ;

2® Ou bien (et ce cas n'exclut pas le précédent) parce qu'il existe dans le plan des x des lignes de discontinuité pour l'expression F {x^ b). Mais cette expression a ses deux termes, numérateur et dénominateur, formés par addition et multiplication de fonctions supposées dépourvues de lignes de discontinuité. Elle ne peut présenter elle-même de pareille ligne, sauf peut-être des lignes le long desquelles elle s'offrirait sous la forme 0:0.

Soit (y) une pareille courbe, le long de laquelle le numérateur et le dénominateur [ç( a? -f- b) -—/(x — b)Y seraient constamment nuls. Il existera, de part et d'autre de (y) ou d'un tronçon de (y), un espace où la détermination de ç — / que l'on considère sera holomorphe; par suite, cette différence sera nulle dans toute cette portion finie du plan des x. Si ce fait ne se produit que pour des valeurs isolées de by il n'importe pas : une fonction Y n'est multiforme que si, en tous les points d'un espace, elle a plusieurs valeurs. Si le fait sub-

(^) Nous supposons, de plus, que ces fonctions n'ont que des points critiques isolés.

302 L. RAFFY.

siste pour des valeurs de b formant un espace, il y a un domaine à deux variables x ely, dans lequel la différence ç — / est toujours nulle. Mais, dans cette hypothèse, il n'y a plus de problème, Téquation fondamentale devenant indéterminée en X et Y par l'évanouissement identique de tous ses coefficients.

Reste donc à examiner l'hypothèse que les fonctions ç^(a7 4-6), /o(x — è), <p (a; -h 6), . . . ont des déterminations multiples. Si l'on part d'un point x du plan des x avec un système de déterminations, on peut y revenir avec tout autre système en décrivant un chemin convenable (c) comprenant un ou plusieurs des points critiques .'Quand on passe d'un point de ce contour au point infiniment voisin, l'expression F (a?, b) ne varie pas d'une manière continue, sans quoi Y dépendrait de X. Donc, au moins pendant une certaine partie du parcours, F conserve la même valeur constante, et, s'il en est ainsi jusqu'au bout, Y est uniforme. Pour que Y passe de sa détermination initiale Y, à une autre détermination Y^, il faut qu'il existe sur la ligne (c) un point M, où la fonction F éprouve une discontinuité brusque. Cela ne peut arriver que si la valeur de x au point M fait prendre à F la forme o : o, et, par suite, est un zéro de la fonction

Si ce point est isolé, on l'évitera en décrivant le contour (c). S'il n'en est pas ainsi, les zéros de cette fonction <p(a? -h 6) — /(a? •— 6) ne pourront s'accumuler autour du point M, car alors elle ne pourrait être développée en série de Taylor autour de ce point. Ils formeront donc une ligne, ou couvriront un espace, ce que nous avons démontré être impossible.

Remarque. — Nous avons négligé deux hypothèses secondaires sur l'expression F(a?, 6), qui sont comprises comme cas limites dans l'hypothèse a"; ce sont : i" le cas où F(a7, b) aurait une même valeur constante dans tout le plan des Xj et d'autres valeurs constantes sur certaines lignes dp ce plan ; n>ais alors ces lignes seraient des lignes de zéros pour la fonction ç(x -h 6) — /(a; — 6); 2** le cas où F(ar, b) aurait une même valeur constante dans tout le plan, sauf en certains

points isolés. Il est facile de voir que ces points ne peuvent être que les zéros de la fonction (f(x -+- b) — /(x — b) ou les points critiques des

fonctions Ço(^ -+- b)^f^{x — 6),

Si l'un des points critiques rend quelques-unes de ces fonctions infinies, il ne faudra pas donner à x directement cette valeur dans l'expression F(a;, 6), car alors les fonctions susdites perdent toute signification. Si le point critique laisse à ces fonctions des valeurs finies et n'est pas en même temps un zéro de 9(0? -+- b) — f{x — ft), le mode de composition de F(^, b) montre qu'en ce point précis la valeur de cette expression ne peut différer brusquement de sa valeur constante pour les points voisins. Enfin, s'il s'agit d'un zéro de

lequel peut être en même temps un point critique, on ne devra pas donner à x directement cette valeur dans l'expression F(j?, b) qui, prenant la forme o ; o, n'aurait plus de signification (*).

( * ) [C'est ici le premier des deux seuls passages de ce Mémoire qui soient visés comme imparfaits dans le Rapport de TAcadémie {Comptes rendus, t. CXV, p. 1122). Le raisonnement du texte a besoin d*étre complété. Il prouve seulement que, lorsqu'on assigne k œ^ik y des valeurs fixes x z=z a^y =^ by et qu'on choisit pour la fonction Y (momentanément supposée multiforme) une cf^rlaine détermination Yi, quelque soit le chemin qu'on fasse ensuite parcourir « la variable x dans son plan poar revenir à son point de départ XTiza^ on retrouvera finalement pour Y la même détermination Y,. Pour établir complètement l'uniformité de la fonction Y(^), il suffit donc de montrer que tout chemin décrit par la variable y dans son plan, parlant du point b pour y revenir, peut être remplacé par un chemin convenable décrit par la variables? dans son plan, du point a au pointée, tandis que j^ garde constamment la valeur b.

Soient en effet //, Zj les points critiques des diverses fonctions de / ^=: o: 4- >• et de z-=.x — /qui figurent dans l'expression de Y. Quand, ayant pris jc =: a. on fait varier j' seulement, les points critiques de ces fonctions ont pour affixes yi^=^ti — «, yjz=.a — Zj, Tout contour fermé passant en b équivaut, comme on sait, à une succession de lacets (Y/) et (Yy) joignant le point b aux j oints y, et/y. Désignant par/ un point du lacet (Y/) et par œ le point correspondant du chemin (X/) que nous voulons substituer à (Y/), on a respeclivemenl le long de ces

deux contours

^=za-h/, tz:^ X -{- b.

11 suffira donc, pour que t acquière la même suite de valeurs le long de ces Journ. de Math, (4* série), tome X. — Fasc. IV, iSg'j. 47

364 I-. RAFFY.