III. — Points essentiels, pôles et périodes

7. L'expression dont nous venons de faire usage pour montrer Tuniformitc de Y met en évidence un autre résultat important : c'est qu'aacune solution de V équation aux cléments linéaires doublement harmoniques n^ admet de point singulier essentiel à distance finie. Nous avons trouvé

et reconnu que Y est une fonction uniforme de y. On aura donc sa valeur, pour ^ donné, en attribuant à x une valeur quelconque. Soit^, la valeur considérée; ayant toujours

?(^-+-r)=?[(^+rO-^(7-70]> /(^~r)=/[(-^—r.) -(/-/.)].

deu\ chemins, de poser

a-i-v = x-l-6, x-=iy-^a — b.

De même, soient (Yy) un lacet relatif à une fonction de 5 el (Xy) le chemin qu'on veut lui substituer. Les relations

qui définissent z le long de ces deux contours, montrent que s aura les mêmes valeurs suivant Tun ou suivant Tautre, si l'on fait correspondre les points jc de (Xy) aux points / de ( Yy ) par la formule

a — j :rz or — 6, x^=-a->t-b — y,

11 faut évidemment qu'aucun des points ti — a ne coïncide avec Tun des points a — Zj, Mais, si l'on avait ti — a^=^a — 5y, il suffirait de changer tant soit peu la valeur de a pour qu'il n'en fût plus ainsi.

Enfin, il faut encore qu'aucun des points singuliers ^,- — 6, 5y -H 6 du plan des jt ne se confonde avec l'un des points critiques de l'une des fonctions de x seulement qui figurent dans l'expression de Y'; mais, si cela était, il suffirait de changer tant soit peu la valeur de h pour que la coïncidence n'eût plus lieu.]

nous donnerons à x une valeur telle que le point x ne soit pas un pôle pour X, non plus que pour $ et ^,, ni le point t =^ x -hj>^, pour 9(^5 ni le point z =: x — y^ pour /(z). Dans ces conditions, les fonctions ç, . .,y*, . . ., que nous savons uniformes, pourront se développer par la formule de Taylor suivant les puissances de y —y\) pourvu que y soit suffisamment voisin de y^ , et il sera permis de réunir en une seule les diverses séries provenant des différents termes du numérateur. Il vient ainsi

Xo4-X,(y-r,)+X,(.x-y,)2 + ...

ce qui montre que le pointy =y\ ne peut jamais être un point essentiel pour Y. En effet, si Ton n^a pas

le dénominateur reste fini pour y =z y^ et le point est un point ordinaire. Dans le cas contraire, c'est un pôle, et je dis que ce pôle est double. C'est évident si l'on n'a pas

Mais, comme la relation ç — y = o a lieu pour toute valeur de rr, sauf certaines valeurs singulières, on en déduit, en la différentiant par rapport à a?,

Cette équation et la précédente entraînent ^ = const., /= const., ce qu'on ne suppose pas. Nous arrivons ainsi à cotte conclusion :

Les solutions de Véqiiation aux cléments linéaires doublement harmoniques n^ont à distance finie d'autres sin^ulajités que des pôles, et chacun de ces pôles est double.

On ferait en effrt la même démonstration pour X que pour Y, et la loi de réciprocité suffit pour étendre la même propriété aux fonctions (pet/.

366 L. RAFFY.

On pourrait d'ailleurs la reconnaître sur l'équation fondamentale elle-même

avant toute intégration. Si en effet y, est un pôle d'ordre n pour Y, c'est un pôle d'ordre /i -h i pour Y', d'ordre n-h 2 pour Y", ce qui exige d'abord que l'on ait

Alors en développant en série les six fonctions ç, 9', '^'\fif\f" ainsi que Y, Y', Y" suivant les puissances de^ — y^ (ce qui est légitime sous les réserves faites un peu plus haut), il suffît d'ordonner le premier membre de l'équation fondamentale suivant les puissances croissantes, négatives et positives de^ "">^u pour reconnaître que l'exposant n est nécessairement égal à 2. On voit de plus que le résidu relatif à tout pôley =y^ est nul.

Mais on peut aller plus loin et déduire de l'identité

î(^-»-r«)=/(^-ri)

des conséquences qui nous serviront. Cette identité ayant lieu quelque soit Xj remplaçons x par x -hy^; il vient

f(x)=^(x-h2y,), d'où cette expression de X

X = rf(x-^-y) -/(x - 7) = ^(x H-j) ^(f(x-^y-h 27. ),

ce qui peut encore s écrire ainsi

ir suffit de poser y —y, = y pour trouver

c'est-à-dire qu'il a suffi de transporter l'origine des y au pôle y, de la fonction Y pour que la fonction/devienne la même fonction de x — y que ç de 07 -f-y. Gela fait, je dis que la fonction Y est une fonction paire de la nouvelle variable y. Introduisons en effet l'hypothèse f{w) = ç(w) dans l'expression générale trouvée pour Y; il vient

et l'on voit que le changement de y en — y, qui revient à l'échange de / avec ^ et de <3 avec /, ne modifie pas Y.

Si l'on suppose que la fonction X ait un pôle a;,, on trouvera comme précédemment

d'où l'on conclut ?(jK) = /(2a7, —y) et par suite \=f{ix,'-X'-y)--f{x -y)

Si donc on pose a?, — a? = a;' et si, pour abréger l'écriture, on fait X-, — y =y', il vient

11 suffira donc d'échanger x' et y pour ramener les deux fonctions ç et /à être les mêmes. Les pôles de Y et ceux de X ont donc ce caractère commun, qu'en y transportant l'origine et échangeant (pour ceux de X) les noms des variables, on ramène les deux fonctions ç et/à être les mêmes. Cette propriété peut s'énoncer autrement. En effet, les deux relations de départ

?(^-*-ri)=/(^-70i ?(^i-*-r)=/(^i-r)

entraînent l'une et l'autre cette conséquence que f'^{yv>) est la même

'3G8 L. ràffy.

fonction de f{w) que 9'*(«^) de çO*^). Nous dirons donc : Si l'une fies fondions \ elY a un pôle à distance finie y la fonction f'^ s'exprime en f comme ^'^ en o. La loi de réciprocité permet d'ajouter : Si l'une des fonctions fp et f admet un pôle à distance finie , X'- s'exprime en X comme Y'- en Y. Nous conviendrons de dire que les fondions ç et / ne sont pas distinctes quand y* s'exprime en / comme o'' en o, et (\\x elles sont distinctes dans le cas contraire; de même pour X et Y.

Nous allons maintenant classer les solutions d'après leurs pôles et leurs périodes. A cet effet, reportons-nous à l'expression de Y' telle qu'elle a été particularisée dans l'hypothèse /(ip) = 9(«'). On a

Cette expression montre que, quand les deux fonctions o et/ ne sont pas distinctes, si elles admettent la période 2(o, \ et par suite X admettent la même période i(^ (ou une de ses parties aliquotes). En effet, si les intégrales

ne sont pas périodiques, elles se composeront chacune d'une partie périodique et d'un terme linéaire en w. Or, si l'on effectue les sommes

?o(-^' -+->')-'- 9o(^' —JK) ^t '^('^ -^^y) H-'K--^ ""/)» les parties non périodiques seront chacune de la forme m{x ^ y) ^ m{x — y)^

c'est-à-dire indépendantes de^. Donc Y' admet la période 2(o.

TiiÉOHKME. — Si Vune des quatre fonctions X, Y, 9 et f admet plus d'un pôle à distance finicy les quatre fonctions sont périodiques; si l'une d'elles admet trois pôles formant un triangle^ toutes les quatre sont doublement périodiques ; si Vune d'elles n'a qu'un seul pôle à distance finie, les trois autres n'en ont pas davantage.

Supposons par exemple que la fonction Y ait deux pôles à distance finie. En transportant l'origine desy en l'un de ces pôles, on rend les fonctions <p et/ identiques. Soit alors o) l'affixe du second pôle. D'après une remarque déjà faite, l'équation fondamentale ne peut être vérifiée pour y = (i) que si le coefficient de X"— • Y" est nul, c'est-à-dire si Ton a

^{x -h O)) = Cf(^X — w),

puisqu'ici /(w) = ç(w^), et cela quel que soit x. En conséquence la fonction ç admet la période 2co, qui, en vertu dulemme, appartiendra aussi à Y et à X.

Le môme raisonnement prouve que, si Y présente trois pôles jy^ = o, ^ = 0), y = 0)' formant un triangle, la fonction ç admet les périodes 2(jd et 20)'; donc aussi Y et X les admettent.

Enfin, si Y n'admet qu'un pôle à distance finie, les autres fonctions n'en ont pas davantage (elles pourraient n'en pas avoir) ; si l'une d'elles en effet en admettait deux, les quatre fonctions seraient périodiques, donc aussi en particulier Y, qui aurait plus d'un pôle à distance finie.

rv. — Solutions doublement périodiques.

8. Théorème. — Tout élément linéaire doublement harmonique et doublement périodique rentre dans le type de M. Darboux

ds^= [?(^ — ^) — ?(^ ~ ^i^)\dxdy,

ou Von a posé

o(w) = —z h Bsn^mw -h C — z h D 3-; h L.

Nous supposons doublement périodique l'une des fonctions (p et/, la dernière par exemple. Comme elle présente à distance finie des pôles formant réseau, des raisonnements déjà faits (') prouvent d'abord

(*) Voir l'article précédent : Points essentiels, pâles et périodes.

que les fonctions X et Y ne sont pas distinctes, de plus, qu'elles sont doublement périodiques; dès lors X et Y ont des pôles, ce qui exige que les fonctions /et 9 ne soient pas distinctes. Nous allons chercher

Supposons marqués dans le plan des z tous les pôles de la fonction o{z). i\ous en choisirons trois (d'affixes z^y z^ -h(ù^ z^-^ (o') qui déterminent un triangle d'aire minima.

La différence des affixes de deux pôles quelconques étant une demipériode, le parallélogramme dont les côtés OA et O A' sont les doubles

de OP et de OP' est un parallélogramme de périodes et un parallélogramme élémentaire, ou d'aire minima. Les sommets O, A, B, A' sont des pôles, ainsi que les milieux P, Q', P', Q de ses côtés, à raison de la double périodicité. Je dis qu'iV ne peut contenir d'autre pôle que son centre C.

D'après une propriété que nous venons de rappeler, étant donnés deux pôles, le symétrique de chacun d'eux par rapport à l'autre est aussi un pôle. Il suit de là que sur le périmètre OA BA'O il ne peul exister d'autres pôles que ceux que nous connaissons déjà, sans quoi le parallélogramme ne serait pas élémentaire. Il n'y en a pas non plus à rinlérieur, car, de L, par exemple, on déduirait L' et le parallélogramme OL'L"A, d'aire moindre que le proposé. Si L était sur une (les médianes, L' serait sur le périmètre, ce qui ne se peut.

Cela posé, la fonction 9(^3) ne peut avoir dans un parallélogramme de périodes (2(0, 2(0') plus de quatre pôles.

-+- (O, To-t-to', ^o-f- (o -h 0)'.

Chacun de ces pôles est double et a son résidu nul. La fonction 9(-) n'ayant pas de point essentiel à distance finie, on peut appliquer la formule de décomposition des fondions doublement périodiques, due à

M. Hermite. On trouve ainsi

-^ B ^ î(^ - Zo - 0)) -^ C ^ ^(z - Zo - 0) ) -f- D^î:(z - ^,— 0) - 0)') h- E,

expression qui ne diffère que par la forme de celle de M. Darboux. L'élément linéaire correspondant

ds^= {^{t— /o) — 9(^ — ZQ)]dxdy

dépend de huit constantes arbitraires A, B, C, D, o), o)', Iq et Zq. Les deux périodes 2(0, 2co', prises comme arbitraires, remplacent le module k et le multiplicateur m de la formule primitivement écrite pour <p(iv).

• Remarque. — Si le point G n'est pas un pôle, il n'y en aura que trois. Si l'une ou l'autre des périodes peut être réduite de moitié, (f(z) n'aura plus que deux pôles ; enfin, si w et o)' sont des périodes, il n'y a plus qu'un pôle double, comme dans l'élément linéaire des surfaces à courbure totale constante.