V. — Achèvement du problème

9. Nous allons faire servir à la recherche des éléments linéaires doublement harmoniques une remarque très simple, mais importante. L'équation fondamentale

exprime que, partant de l'élément linéaire

cfo^ = [?(a? -h y) —/(a? -7)] dxdy

Journ . de Math, (4* série), tome X. — Fasc. IV, 1894. (\o

372 L. RAFFY.

et opérant le changement de variables

V/X(a.) ' v^YÔÔ

on a identiquement

[ç(^f^)/(;y^)]VX\=?,(^4-ïi)-/,($-ri),

OU que l'élément linéaire considéré conserve la forme harmonique Dès lors il est évident que, partant de

rf^^= [ç,(i 4-yi) -/,($ - ïl)]«^rfv], et opérant le changement de variables

inverse du précédent moyennant les hypothèses

X(a;)S(i) = i, Y(y)H(ri) = i,

on retrouvera Télément linéaire primitif (ç — f) dx dy. Ainsi les fonctions S($) et H(y]) concourent avec <pi($ -h r\) et/<(^ "~^) ^ former une solution de l'équation fondamentale. Mais nous avons démontré que toutes les solutions de cette équation sont uniformes. Ainsi, de même que X(a:) est uniforme en x, la fonction S(Ç) est uniforme en Ç. Or elle est égale à l'inverse de X(a;). Donc X(a;) est une fonction uniforme de S comme de a;, et nous arrivons à cette conclusion :

Les fonctions X(a7) qui concourent à formel^ des solutions de V équation aux éléments linéaires doublement harmoniques doivent être cherchées parmi les fonctions uniformes de x qui deviennent des fonctions uniformes de Ç par le changement de variable

ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. 3'j3

Eludions les fonctions qui satisfont à cette double obligation d'être uniformes en x et uniformes en Ç. Nous allons voir que ce sont, en général, des fonctions périodiques et nous discuterons les cas dans lesquels certaines périodes ou toutes les périodes disparaissent.

A cet efTet, considérons l'intégrale définie qui représente Ç

dx

,sJX{x)

et soit \^{x) la valeur qu'elle acquiert quand, partant de a? = x^ avec une détermination du radical, on fait décrire à a? un chemin déterminé (chemin i). Allons maintenant dea?p en x^ par un chemin qui entoure diverses racines ( * ) de X, mais qui ramène la détermination initiale du radical ; si l'on va ensuite de x^ en x par le chemin i , on aura

$ = m A H- /iB -h.. .4- Si(^), les A, B, . . . étant des périodes. Or la fonction

est uniforme, qu'on l'exprime en Ç ou qu'on l'exprime en x. Donc, étant donné a;, elle n'a qu'une seule valeur; or elle se présente, selon que X a décrit le chemin i ou le suivant, sous les deux formes

On doit donc avoir

H(^, + m A + nB -t- . . .) = S(i,).

(*) LesfonctionsX(.r)elY(y) peuvent toujours êtresupposéesavoirdes racines, puisque nous avons établi qu^elles n'ont de point essentiel qu'à Tinfini. Si elles n'avaient pas de zéros, on les remplacerait par X — A, Y — A et les nouvelles équations X — /i = o, Y — h=^o auraient nécessairement des racines, en vertu d'un important théorème, découvert par M. Picard.

374 ï- RAFFY.

ce qui prouve à la fois que la fonction S est périodique et que ses périodes A, B, ... se réduisent à deux au plus.

Nous pouvons raisonner de même sur la fonction Xy

Si x^ est Tune de ses valeurs, un chemin d'intégration convenable

donnera

X = Xt(^) -f- [Jia H- v^ -h ...,

les a, p, ... étant des périodes; et l'on verra, comme tout à l'heure pour S (^), que la fonction X(x) est périodique. En conséquence, les fondions S($) e/ X(a:) sont des fonctions uniformes de leur argument et admettent^ en général, deux périodes. Nous aurons à tenir compte de leurs dégénérescences, d'où trois cas principaux à examiner, suivant que l'une d'elles a deux périodes, n'en a qu'une, ou n'en a aucune.