Premier cas : S(i) a deux périodes

Trois hypothèses à faire, suivant que X(a;) a deux périodes, n'en a qu'une, ou n'en a pas. Dans les trois hypothèses, nous avons toujours

(ï) \ = mA -f- wB -f- $»(a;),

et, si l'on fait précéder le chemin i, qui donne 5i(a;), d'un chemin

qui échange les deux déterminations de \/X(x) au point initial x^j on aura

en désignant par 2L l'intégrale $ prise suivant un lacet. Les formules (i) et (2) fournissent toutes les valeurs de ^ pour une valeur donnée de X. On peut les écrire

$-L=mA-f-/iB-[L~Ç, (x)l Ç - L = m'A -4- /i'B -h [L - $, (x)].

ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. 3'j5

On en conclut que la fonction p (Ç — L) aux périodes A et B est une fonction uniforme de x.

Dans tous les cas qui vont suivre, nous aurons à reproduire un même raisonnement, que nous allons faire une fois pour toutes. Supposons qu'une certaine fonction uniforme de |, U, ($) soit une fonction uniforme de x, et qu'une certaine fonction uniforme de x, U (x), soit une fonction uniforme de $. On voit que \J^ est une fonction de U. De plus, les fonctions que nous considérerons peuvent prendre toutes les valeurs. Or, x étant donné, U est déterminée et U< n'a qu'une seule valeur. C'est dire que la relation F(U, U,) = o, qui lie U et Ui, est telle que, quand U est connue, U^ n'a qu'une seule valeur. Elle est telle aussi que, quand U< est donnée, U n'a qu'une seule valeur. Ainsi, les variables U et U< sont des fonctions uniformes l'une de l'autre, et cela quelque valeur qu'on attribue à chacune d'elles. Dès lors, on sait qu'elles ne peuvent être liées que par une relation bilinéaire (homographique)

CUU,-f-AU+BU,-+-D = o,

dont les coefficients sont des constantes (*).

(*) [C'est ici le second point visé par le rapport de l'Académie. Le raisonnement du texte est incorrect, mais l'existence d'une relation homographique entre les fonctions considérées, telles que p(Ç — L)etp(j7 — X), n'est pas contestable. Rien n'est plus facile que de l'établir rigoureusement comme il suit.

Les formules (i) et (2) peuvent être remplacées par une seule :

(I) 5 — L=:mA-f-/iB±[Ç,(a;)- L].

Dans le cas le plus général, celui où X (j?) admet deux périodes, on aura pareillement

(II) a? — X = p.«-hvp±[^i(Ç) — X].

A toutes tes vateurs de x fournies par ta formule {II) pour te même x^ ne correspondent pas d'autres valeurs de \ que celtes qui sont données par ta formule {!) pour un même Ç^; et réciproquement.

Pour le voir, choisissons deux arguments dans la suite (II), par exemple

x'= X -f- ix'a -+- v'P H- (oTi — X), a:'z= X -h ji'^a -+- v'^p -f- {xi— X).

Soient S' l'une des valeurs de Ç qui correspondent à x' et V l'une de celles

376 L, RAFFY.

Cela posé, examinons les trois hypothèses du premier cas.

Première hypothèse. — L'intégrale x a deux périodes a, p. Ses diverses valeurs pour une valeur donnée de x se répartissent en deux séries

(3) 07= (jLa-hvp ■4-a7|(^),

(4) a? = (Jia-f- vp 4- 2X — x^{\)^

dont Torigine est bien connue. Nous les écrirons ainsi :

a? — X = (xaH-vP — [X — a?4 (Ç)], a? - X = [jL'a -h v'p 4- [X — X, (Ç)].

qui correspondent à \". A l'argument %' correspond pour x une série de valeurs dont x' fait partie; cette série est donc

(Iiy X 4- fia -f- vp zh (fx'a 4- v'p -\- x,-^ X).

A Targument %" correspond pour x une série de valeurs dont x" fait partie; cette série est donc

(11)" X+ p.a-i-vpd=(p.''ot4-v''p-h^,-X).

Les deux séries (II)' et (II)" ont en commun Targument Xx, Puisque la valeur Xi figure parmi les valeurs de x qui correspondent 9oit à \'y soit à S", on a

nécessairement

S' - L r= m'A 4- /l'B ± [Ç, (jcj) ^ L],

Rien n'est changé, si x" est de la forme X 4- H^"a -H v^P — (^1 — X). On fera le même raisonnement sur % pour établir la réciproque. On voit par là que, si Ton donne à x toutes les valeurs (II), qui correspondent à une même valeur de la fonction p{x — X) aux périodes a et p, la fonction p (Ç — L) aux périodes A et B n'aura qu'une seule valeur, et réciproquement; en sorte que ces deux fonctions sont liées par une relation homo graphique.

La correspondance entre les valeurs de x et celles de % subsiste quel que soit le nombre des périodes qui disparaissent, mêœe si les doubles signes disparaissent aussi. Il existera donc, dans les divers cas de la discussion qui va suivre, une relation homographique entre l'une des fonctions p(Ç — L), sin*(Ç — L), tang(? — L) ou e^-"-, (Ç — L)', Ç — L d'une part, et Tune des fonctions p (a? — X ), sin'(a? — - X), tang(a7 — X) ou e*~^, {x — X)', x — \ d'autre part.]

On voit que la fonction p(x — X), aux périodes a et p, est une fonction uniforme de Ç. Il résulte du raisonnement qui vient d'être exposé, que les deux fonctions p (^ — h) et p(x — \) sont liées par une relation homographique. Soit donc

Il suffit de différentier et d'éliminer p(^ — L), pour trouver

X{^\-{^y- Ap*(^ - X) + Bp^x - X) 4- C,p»(^ - X) + Dp(x - X) + E

C'est l'expression de X que nous avons obtenue (Chap. II), à propos des surfaces à courbure constante. Elle contient huit constantes : les trois coefficients de la transformation homographique, les deux ' invariants g'^j g'^ de p (i — L), les deux invariants ^2? g% ^t le paramètre X de la fonction p (x — X). Il est clair que S($) a une expression exactement de même forme.

Deuxième hypothèse. — L'intégrale x n'a qu'une période a. Les formules (3) et (4), où maintenant p ne figure plus, montrent que sin*(a? — X) est une fonction uniforme de $ (car on peut supposer a égal à it).

C'est ce qu'on déduirait aussi de p(x — X) par dégénérescence. Nous concluons ici que p(Ç — L) et sin*(a?-- X) sont liés par une relation homographique :

p(l — L) = A -+- -i—^^rr-^-TT-—n' ^^ ^ AjSin*(a7 — A) 4- B,

Différentiant et éliminant p(Ç — L), on trouve

Asin'a? -t- Bsin^^r -f- Csin*a? -h D sin'^ -{- E

sm'^cos'a?

en négligeant X. C'est l'expression déjà trouvée (Chap. II) à propos des surfaces à courbure constante. Quant à S(ç), son expression est,

comme dans l'hypothèse précédente, de la forme

mais elle dépend d'une constante de moins, puisqu'au lieu de deux périodes de x (ou deux invariants g^^ g^) il n'y en a plus qu'une.

Il peut-arriver aussi que tous les chemins d'intégration suivis par Ç donnent une seule série de valeurs pour x, savoir

X — [LOL -{- X^ (Ç).

Alors p(^ — L) et tango; (car on peut supposer a = ir) sont liés par une relation homographique, d'où l'on déduit sans peine

X(x) = Asin^o? -f- Bsin'a;cosa?

Csin^o? cos^a? -h Dsin^ cos'a; 4- Ecos*x,

avec cinq arbitraires. L'expression de S ($) est de même forme que quand sin^(a; — X) est uniforme en Ç.

Troisième hypothèse. — L'intégrale x n'a pas de période. Les formules générales (3) et (4) se réduisent actuellement à

^ = ^1(^)1 ^ = 2X — ir^($);

ce qu'on peut écrire

On voit que (x — X)^ est une fonction uniforme de $. Par suite, p(^ — L) et {x — X)' sont liés par une relation homographique, que nous écrirons, en négligeant X :

p($-L) = A-+- r—f-TT'

C'est d'ailleurs ce qu'on obtiendrait par la dégénérescence non périodique de p(ar— X). Cette relation, diflerentiée, donne, par élimi-

nation dep($ — L),

Les cinq coefficients du numérateur sont arbitraires, la relation homographique donnant trois indéterminées auxquelles s'ajoutent les deux invariants g^j ^^ g\ de p($ — L); une sixième arbitraire est la constante négligée X. Nous trouvons pour X une expression déjà obtenue (Ghap. II) à propos des surfaces à courbure constante. L'expression correspondante de S(Ç) rentre dans celle que nous avons déjà écrite, comme étant de même forme et contenant moins d'arbitraires.

Mais l'intégrale x n'ayant pas de période, il peut ne pas exister de

chemin au bout duquel la détermination choisie pour \/3(5) se reproduise changée de signe. C'est dire que la fonction x est une fonction uniforme de Ç. Alors p (Ç — L) et x sont liés par une relation homographique

d'où l'on tire sans difficulté

X {x) = (^\ = Kx' -h Ba?' -h Cx' 4- Da: + E,

avec cinq indéterminées provenant, trois de la relation homographique, deux des invariants de p($ — L). C'est là encore une expression de X, qui s'est présentée (Chap. II) à propos des surfaces à courbure constante. L'expression correspondante de 3($) rentre encore dans le type primitivement considéré.

Il suffit de jeter un coup d'œil sur le Tableau du Chapitre II qui se rapporte aux surfaces à courbure totale constante, mais non nulle, pour voir que nous venons de retrouver les cinq formes de X($) qui y figurent. Les cinq expressions correspondantes de S(Ç) ne diffèrent pas de celle qui est inscrite pour X dans ce Tableau, sous le n** (V).