Deuxième cas : S($) n'a qu'une période

Dans ce second cas, nous n'avons pas à supposer X(îc) doublement

Journ. de Math. (4* série), tome X. — Fasc. IV, iSgJ. 49

38o L. RAFFY.

périodique, ce qui nous ramènerait (sauf échange de $ en a; et de x en ^) à la seconde hypothèse du premier cas. Notre discussion se trouve ainsi abrégée. Nous commencerons par rappeler les formules (i) et (2) qui deviennent ici

l^-L = mA-[L-l(x)l

En prenant, ce qui est permis, A = air, on voit que sin*(5 — L) est une fonction uniforme de x. Si la seconde série de valeurs de Ç disparaît, c'est-à-dire si tous les chemins suivis par x donnent seulement

on fera A ~ 2,iiz et l'on verra que e^ est une fonction uniforme de x. Cela étant, supposons successivement que X(x) n'a qu'une période, puis qu'elle n'en a pas.

Première hypothèse. — L'intégrale x n'a qu'une période a. Si les divers chemins suivis par Ç donnent deux séries de valeurs pour ar, nous aurons, par les formules (3) et (4)>

X — \— 'i\kTz — [X — a;i(Ç)],

en appelant i-k la période, ce qui est permis. Donc sin^(a? — X) est une fonction uniforme de Ç et il existe une relation homographique entre sin^(x' — X) et sin^(Ç — L) ou bien entre sin^(a7 — X) et e^. Soit d'abord, en négligeant L et X,

sin^Ç = /i -h . . f — -5

Nous tirons de là

Y „ (^\ — (Msin^rH- N sin*^ -h P)( A sin'j? -h B)»

et une expression absolument de même forme pour S($). Ces deux

expressions rentrent dans un type déjà signalé (i*** cas, 2*^ hypothèse).

Soit maintenant

sin^o? = A -+-

En différentiant et éliminant $, nous trouvons

XW =($)■=

sin*a? cos*a?

expression qui rentre dans le même type que la précédente. Introduisant $ au lieu de x^ nous avons

ce qui donne, après changement de Ç en 2.ix^ un polynôme homogène et du quatrième degré en sina? et cosar, compris dans un type déjà rencontré (i*^' CAS, à la fin).

Il ifaut maintenant supposer que tous les chemins suivis par ^ ne donnent pour X qu'une seule série de valeurs

a? = (jia -f-a;|(^).

Si Ton prend a = aiit, ce qui est permis, on voit que (f est une fonction uniforme de $. Il n'y a pas lieu de supposer sin^(Ç — L) fonction uniforme de a; : ce serait l'hypothèse précédente, sauf échange de x en Ç et de Ç en x. On fera donc

Ae^-+-B

Cette relation étant de même forme par rapport à rr et à Ç, il suffît de calculer X(x). On trouve aisément

v/ X (Mc*-i-P)(Ae^H-B)

Cette expression est comprise dans celle que nous venons d'obtenir

382 L. RA.FFY.

pour S. D'ailleurs, S(Ç) a exactement la même forme. Nous avons épuisé la première hypothèse du second cas.

Deuxième hypothèse. — L'intégrale x n'a pas de période. On a vu qu'alors x^ ou x est une fonction uniforme de $ (i®*^ cas, 3* hypothèse). Il suit de là qu'il existe une relation homographique entre sin*($ — L) ou e^ et x^ ou x.

1^ Soit d'abord, en négligeant L,

sin^Ç = h-h \ f t. -

Cette équation donne

XW=(|)'-Ma.'+P+2,

2(5) = (â)" -*^-+A*Si-

Ce sont là, parmi les six formes de X(x) qui correspondent aux développables (Chap. II), les deux seules qui ne rentrent pas dans celles que donnent pour la même fonction les surfaces à courbure totale. Comme le montre le Tableau placé au début du Chapitre, dans les solutions de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques déduites par réciprocité de celles qui sont déterminées au Chapitre II, toutes les expressions de X rentrent, soit dans les deux que nous venons d'écrire, soit dans les cinq relatives aux surfaces à courbure constante. Ainsi nous avons dès maintenant retrouvé toutes les formes que nous connaissions déjà pour X. Il ne s'en présentera pas de nouvelle dans la suite de notre discussion.

2? Soit maintenant

sin'*

' Ax-hB

Cette

équation

conduit à

(Mx'

■-hPx + Q)(Ax

(dx)

M,(sin'|— /()' sm'çcos'ï

expressions qui rentrent dans des types déjà rencontrés.

3° Nous arrivons à l'exponentielle e^ Soit d'abord De cette équation on tire

{M,e^-hP,y{e^—hy

expressions qui rentrent également dans des types déjà rencontrés. 4** Soit enfin, pour achever l'examen du second cas,

Ad?-t-B On déduit de cette relation

X(x) = ( jy = (Mx -H Py{Ax 4- B)%

Ce sont là encore des formes particulières de solutions déjà obtenues.